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马继峰的工作室/majifeng新课标资料  二次函数生活帮（A 版必修 1） 山东省汶上县圣泽中学 马继峰 本文于 2008 年发表于《数学周报》 二次函数是一个重要的函数模型，它可以帮助我们解决生活中的很多优化问题 （可简单理解为求最值 问题），请看下面几例. 一、给模型 即题目明确给出二次函数模型，我们只需依据模型确定目标函数求解. 例 1  小王经营着一个桶装水销售点，每天的房租、员工工资等固定成本为 200 元，每桶水的进价是  5 元，销售单价x （元）与日均销售量 y （桶）的函数关系式为 y = 720- 40 x .问销售单价为多少时，才能 使一天的利润最大，最大利润是多少？ 分析：用一天的销售总收入减去进水费用和固定成本即为一天的利润，把其函数解析式求出，再依据 定义域求最值条件及最值.  2 解：依题意，当销售单价为x元时，一天的利润 z = ( x - 5)(   720 - 40 x ) - 200 = -40 x  + 920 x - 3800  23 2 = -40 ( x - )  + 1490 ， 2  Ï x  0  又由Ì ，解得 0 x £ 30 ，所以，当 x = 11. 5 时，z 取得最大值 1490. 720 - 4 x  0  Ó 答：销售单价为 11.5 元时，才能使一天的利润最大，最大利润是 1490 元. 评注：大凡实际问题，实际背景都会对自变量有特定的要求，故一定要依据实际背景来确定函数的定 义域，进而在此定义域上研究问题.求二次函数的最值，大都采用配方法.本题属于二次函数应用中的一种 常见类型——此消彼长型，即一个变量增加（如：本题中的水的单价），另一个变量就减少（如：本题中 的水的销售量）.  二、求模型 即告知函数模型是二次函数类型，但未明确给出，解答时，需先由已知数据求解函数模型，再解决实 际问题. 例 2  从 2004 年开始，某公司抓住商机，生产一种北京奥运会纪念品，它的成本是 2 元，售价是 3 元， 年销售量为 100 万件.为了获得更大的利润，公司准备拿出一定的资金做广告.根据经验，每年投入的广告 费是x （十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的 y 倍，且 y 是x 的二次函数，它们的部分数据如下 表：  x （十万元）  0  1  2  …  y  1  1.5  1.8  … （1）求 y 关于x之间的函数关系式； （2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S （十万元）与广告费x （十万 元）的函数关系式； （3）如果投入的年广告费为 10 ~ 30 万元，问广告费为多少时，公司获得的年利润最大，最大利润是 多少？ 分析：根据表中数据，利用待定系数法求 y 关于x之间的函数关系式.后两问易解. 1  马继峰的工作室/majifeng新课标资料  Ï 1  a = - Ô 10