高二数学第10讲：直线的方程（教师版）.docxVIP

第10讲 直线的方程直线方程的五种形式名称方程常数的几何意义不能表示的直线点斜式y-y1=k(x-x1)(x1，y1)为直线上的一定点，k为直线的斜率x=x1斜截式y=kx+bk为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距x=x1两点式(x1,y1),(x2,y2)是直线上的两定点x=x1　　y=y1截距式a是直线在x轴上的截距，b是直线在y轴上的截距与x轴、y轴垂直的直线和过原点的直线一般式Ax+by+c=0　　(A2+B2≠0)A、B、C为系数无两条直线的位置关系及到角、夹角公式　　1. 平行l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2时，　　斜率不存在很容易判断两条直线是否平行；　　（2）l1：A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0时，　　　　2.垂直　　（1）l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2时，　　（2）l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C=0时，　　在具体问题中，可将与Ax+By+C=0平行的直线设为Ax+By+m=0，垂直的直线设为Bx-Ay+m=0　　3. 到角、夹角的概念与公式：　　（1）到角：设l1、l2的斜率分别是k1、k2，l1到l2的角θ，则　　注意：①到角的概念：l1按逆时针方向→l2，第一次重合(最小正角)②θ的范围：0°θ180°；（2）l1与l2的夹角θ：规定形成角中不大于90°的角叫两条直线的夹角。注意：l1与l2相交不垂直时是锐角，0°θ90°，l1与l2相交垂直时：θ=90°；所以θ的范围；0°θ≤90°；　　夹角公式：（3）使用范围：到角和夹角均不等于90°　　不适于使用公式的情形，常用数形结合解决。　　如l1:x=3与l2:y=2x+6的夹角：画图：直线系方程1.定义：具有某种共同性质的所有直线的集合.它的方程叫直线系方程。2.直线系方程的种类：（1）与直线L：Ax+By+C=0平行的直线系方程为： Ax+By+m=0 （其中m≠C，m为待定系数）；（2）与直线L：Ax+By+C=0垂直的直线系方程为: Bx-Ay+m=0 （m为待定系数）.（3）过定点P（x0，y0）的直线系方程为： A(x-x0)+B(y-y0)＝0若直线L1：A1x+B1y+C1=0与直线L2：A2x+B2y+C2=0相交，交点为P（x0，y0），则过两直线的交点的直线系方程为: m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(1),其中m、n为待定系数. 1.灵活应用直线方程的五种形式；2.根据直线位置关系求夹角及解析式； 3.熟练应用直线系方程。 1. 判断下列命题是否正确：①一条直线l一定是某个一次函数的图像；②一次函数的图像一定是一条不过原点的直线；③如果一条直线上所有点的坐标都是某一个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程；④若以一个二元一次方程的解为坐标的点都在某一条直线上，则这条直线叫做这个方程的直线．解析①不正确．直线，不是一次函数；　　②不正确．当时，直线过原点．　　③不正确．第一、三象限角的平分线上所有的点都是方程的解，但此方程不是第一、三象限角平分线的方程④不正确．以方程()的解为坐标的点都在第一象限的角平分线上，但此直线不是方程()的图像．答案上述命题都不正确。2.直线在轴上的截距是（ ）A．B．C．D．解析 本题考查的是截距式方程的形式及意义。令则答案 B3.过点且垂直于直线 的直线方程为（ ）A． B．C． D．解析设又过点，则，即答案 A4.已知点A(-3,1)，B(3.1)，点C在坐标轴上，且，则满足条件的点C的个数是（? ）? A1?????B2????C3????D4解析点C在坐标轴上，可有两种情况，即在x轴或y轴上，点C的坐标可设为（x，0）或(0,y)。由题意，，直线与直线垂直，其斜率乘积为－1，可分别求得x=0或2，y=0或4，所以满足条件的点的坐标为（0，0），（2，0），（0，4）．说明：①本题还可以有另外两种解法：一种是利用勾股定理，另一种是直角三角形斜边与轴交点恰为斜边中点，则由到、距离相等的性质可解．②本题易错，可能只解一个坐标轴；可能解方程时漏解；也可能看到、各有两解而误以为有四点． 答案 C5. 求过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程。（用多种方法解决）解析1点斜式。显然直线不符合题意，设所求的直线方程为（）令，得；令，得；则，即，∴，当时，；当时，，故所求直线方程为或。解析2 截距式。设直线在两坐标轴上的截距为，若，则直线过、两点，即；若，则设直线方程为，即；故所求直线方程为或。解析3一般式。设所求直线方程为，则，∴，当时，即；当时，即；故所求直线方程为或。解析4 用直线系方