高二数学第12讲：圆的方程（学生版）.docxVIP

第十二讲 圆的方程1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。2、圆的方程（1）标准方程_______，圆心_______，半径为_____；点与圆的位置关系：①当____，点在圆外；②当_____，点在圆上 ；③当_____，点在圆内；（2）一般方程______________________①当时，方程表示圆，此时圆心为___________，半径为②当时，表示一个点； ③ 当时，方程不表示任何图形。3、圆系方程1、以为圆心的同心圆系方程：　与圆＋＋＋Ｆ＝０同心的圆系方程为：＋＋＋＝０2、过直线＋＋Ｃ＝０与圆＋＋＋Ｆ＝０交点的圆系方程为：＋＋＋Ｆ＋（＋＋Ｃ）＝０（Ｒ）3、过两圆:＋＝0，:＋＝０交点的圆系方程为：＋＋（＋）＝0（≠-１，此圆系不含:＋＝０）特别地，当＝－１时，上述方程为根轴方程．两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程．注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆，可等价转化为过圆和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:例1、圆心为且过原点的圆的方程是（ ）A．B．C．D．解析：由圆心可以设出圆的标准方程，设出半径r，又知圆过原点带入求出半径继而求出圆的方程。答案：由圆心的坐标设圆的标准方程为又由圆过原点，将原点坐标带入标准方程，继而求得半径的值。故选D。例2、 已知圆C:求该圆的标准方程及半径。解析：欲求圆的标准方程，有两种方法，可以利用一般方程的公式求出半径及圆心的坐标，或者利用原式进行关于的配方，配成完全平方的公式可得。答案：由例3、圆的周长是（ ）A．B．C．D．解析：由圆的一般式方程公式代入即可得到圆的半径。答案：由周长为，故选A例4、求经过两圆＋3－－2＝０和＋2＋＋１＝０交点和坐标原点的圆的方程．解析：由过两圆:＋＝0，:＋＝０交点的圆系方程为：＋＋（＋）＝0（≠-１，此圆系不含:＋＝０）代入公式中求解。答案：由题可设所求圆的方程为：　（＋3－－2）＋（＋2＋＋１）＝０∵　（0，0）在所求的圆上，∴　有－2＋＝０．　从而＝２故所求的圆的方程为： 即　＋7＋＝０。例5、求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。　　分析：本题若先联立方程求交点，再设所求圆方程，寻求各变量关系，求半径最值，虽然可行，但运算量较大。自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行。为了避免讨论，先求出两圆公共弦所在直线方程。则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题。答案：圆和的公共弦方程为过直线与圆的交点的圆系方程为，即依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心必在公共弦所在直线上。即，则代回圆系方程得所求圆方程例6求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系．解析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点与圆的位置关系，只须看点与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．答案：设圆的标准方程为．∵圆心在上，故．∴圆的方程为．又∵该圆过、两点．∴解之得：，．所以所求圆的方程为． A方程x2+y2+2ax-by+c=0表示圆心为C（2，2），半径为2的圆，则a、b、c的值依次为A 2、4、4； B -2、4、4； C 2、-4、4； D 2、-4、-42.过点A（1，-1）、B（-1，1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是A、(x-3)2+(y+1)2=4 B、(x+3)2+(y-1)2=4 C、(x-1)2+(y-1)2=4 D、(x+1)2+(y+1)2=43.圆心在且经过点（5，1）的方程为（ ）A. B.C. D.4.方程x2+y2－4x+4y+4=0的圆心、半径分别是（ ）A圆心（2，4）； 半径2； B圆心（－4，4）；半径4； C圆心（2，－2）；半径2； D圆心（2，4）； 半径45.过圆x2+y2-x+y-2=0和x2+y2=5的交点，且圆心在直线3x+4y-1=0上的圆的方程为.B6、已知圆与y轴相切，圆心在直线x-3y=0，且这个圆经过点A（6，1），求该圆的方程.7、 求半径为4，与圆相切，且和直线相切的圆的方程．8、已知△ABC的顶点坐标分别是A（4，1），B（6，－3），C（－3，0），求△ABC外接圆的方程．9、某圆经过点A（2，－3）和B（－2，－5），且圆心C在直线l：上，求此圆的标准方程．10、一个圆经过点与，圆心在直线上，求此圆的方程.11、已知圆与y轴相切，圆心在直线x-3y=0，且这个圆经过点A（6，1），求该圆的方程.12、 求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y