高二数学第14讲：曲线与方程（教师版）.docxVIP

第十四讲 曲线与方程定义在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。二、常见的有六种求轨迹方程的方法：①待定系数法：由几何量确定轨迹方程；②定义法：根据曲线的定义，求轨迹方程；③直接法：给出某些条件（几何、三角或向量表达式等）求轨迹方程；④“代入法”求轨迹方程；⑥参数法（包括解决中点弦问题的点差法）求轨迹方程．⑤“交轨法”求轨迹方程；教学重点：曲线方程和方程曲线的概念教学难点：两者的辩证关系例1.f(x0,y0)=0是点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的　(　　)A.充分不必要条件[]B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由曲线与方程的概念可知,若点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上,则必有f(x0,y0)=0;又当f(x0,y0)=0时,点P(x0,y0)也一定在方程f(x,y)=0对应的曲线上,故选C.答案：选C.例2.下面四组方程表示同一条曲线的一组是　(　　)A.y2=x与y=B.y=lgx2与y=2lgxC.=1与lg(y+1)=lg(x-2)D.x2+y2=1与|y|=解析：主要考虑x,y的取值范围,A中y2=x中y∈R,而y=中y≥0,B中y=lgx2中x≠0,而y=2lgx中x0;C中=1中y∈R,x≠2,而lg(y+1)=lg(x-2)中y-1,x2,故只有D正确.答案：选D.例3.方程x2+y2=1(xy0)的曲线形状是　(　　)解析：.方程x2+y2=1(xy0)表示以原点为圆心,1为半径的圆在第二、四象限的部分.答案：选C例4.曲线y=和y=-x+公共点的个数为　(　　)A.3　　　　B.2　　　　C.1　　　　D.0解析：由得-x+=,两边平方并整理得(x-1)2=0,所以x=,这时y=,故公共点只有一个.答案：选C.例5、方程=表示的曲线是什么图形?解析：原方程可化为即所以它表示的图形是两条线段y=-x(-1≤x≤0)和y=x(0≤x≤1).如图:例6、曲线x2+(y-1)2=4与直线y=k(x-2)+4有两个不同的交点,求k的范围,若有一个交点、无交点呢?解析：联立解析式答案：由得(1+k2)x2+2k(3-2k)x+(3-2k)2-4=0,Δ=4k2(3-2k)2-4(1+k2)[(3-2k)2-4]=48k-20.所以Δ0,即k时,直线与曲线有两个不同的交点;Δ=0,即k=时,直线与曲线有一个交点;Δ0,即k时,直线与曲线没有交点.A1、如果曲线C上点的坐标满足方程F(x,y)=0,则有(　　)A.方程F(x,y)=0表示的曲线是CB.曲线C的方程是F(x,y)=0C.点集{P|P∈C}?{(x,y)|F(x,y)=0}D.点集{P|P∈C}{(x,y)|F(x,y)=0}答案：选C.A,B错,因为以方程F(x,y)=0的解为坐标的点不一定在曲线C上,若以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上,则点集{P|P∈C}={(x,y)|F(x,y)=0},故D错,选C.2.方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的是　(　　)A.两条直线B.一条直线和一双曲线C.两个点D.圆答案：选C.由题意,所以x=1,y=1或x=-1,y=-1,所以方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的是两个点(1,1)或(-1,-1).3、点P(2,-3)在曲线x2-ay2=1上,则a=　.答案：将(2,-3)代入x2-ay2=1,得a=.4、已知点A(a,2)既是曲线y=mx2上的点,也是直线x-y=0上的一点,则m=　.答案：因为点A(a,2)在直线x-y=0上,新 课 标 xk b1. c om得a=2,即A(2,2).又点A在曲线y=mx2上,所以2=m·22,得m=.5、如果直线l:x+y-b=0与曲线C:y=有公共点,那么b的取值范围是　.答案：曲线C:y=表示以原点为圆心,以1为半径的单位圆的上半部分(包括(±1,0)),如图,当l与l1重合时,b=-1,当l与l2重合时,b=,所以直线l与曲线C有公共点时,-1≤b≤.答案:[-1,]6、方程y=所表示的曲线是　.答案：原方程可化为:y=|x-2|=所以方程表示的是射线x-y-2=0(x≥2)及x+y-2=0(x2).答案:两条射线7.已知点M到定点F(1,0)的距离和它到定直线l:x=4的距离的比是常数,设点M的轨迹为曲线C,则曲线C的轨迹方程是　.答案:设点M(x,y),则据题意有=,则4[(x-1)2+y2]=(x-4)2,即3x2+4y2=12,所以+=1,故曲线C的方程为+=1.8