高二数学第15讲 椭圆（教师版）.docxVIP

第15讲 椭圆（不用添加内容，任课老师根据学生情况自行添加）（不用添加内容，也不做修改）1．定义：①平面内与两个定点的距离之和等于常数等于（），这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫)． ②点与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数，，则点的轨迹是椭圆。定点叫做双曲线的，定直线l叫做双曲线的。③之间的关系。2．标准方程及几何性质：（1）若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为，焦点坐标为，焦距为，横坐标的取值范围是，纵坐标的取值范围是，图像关于对称，顶点坐标为，长轴长为，短轴长为，离心率为，准线方程为。（2）若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为，焦点坐标为，焦距为，横坐标的取值范围是，纵坐标的取值范围是，图像关于对称，顶点坐标为，长轴长为，短轴长为，离心率为，准线方程为。3.椭圆参数的几何意义（如图）：（1），（2），（3）；（4）；（5）；（6）；（7），；；（8）中结合定义与余弦定理，将有关线段、、和角结合起来，设，则（不用添加内容，任课老师根据学生情况自行添加）例1 已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值．例2的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹．例3 已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，，．求：的面积例4 已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．例5 已知椭圆及直线．（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．例6已知方程表示椭圆，求的取值范围．解：由得，且．∴满足条件的的取值范围是，且．说明：本题易出现如下错解：由得，故的取值范围是．出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中这个条件，当时，并不表示椭圆．例7 知圆，从这个圆上任意一点向轴作垂线段，求线段中点的轨迹．分析：本题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题．这种题目一般利用中间变量(相关点)求轨迹方程或轨迹．解：设点的坐标为，点的坐标为，则，．因为在圆上，所以．将，代入方程得．所以点的轨迹是一个椭圆．说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，这种方法具体做法如下：首先设动点的坐标为，设已知轨迹上的点的坐标为，然后根据题目要求，使，与，建立等式关系，从而由这些等式关系求出和代入已知的轨迹方程，就可以求出关于，的方程，化简后即我们所求的方程．这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握．例8已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长．分析：可以利用弦长公式求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．．因为，，所以．因为焦点在轴上，所以椭圆方程为，左焦点，从而直线方程为．由直线方程与椭圆方程联立得：．设，为方程两根，所以，，， 从而．(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．由题意可知椭圆方程为，设，，则，．在中，，即；所以．同理在中，用余弦定理得，所以．(法3)利用焦半径求解．先根据直线与椭圆联立的方程求出方程的两根，，它们分别是，的横坐标．再根据焦半径，，从而求出．例9 已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上有不同的两点关于该直线对称．分析：若设椭圆上，两点关于直线对称，则已知条件等价于：(1)直线；(2)弦的中点在上．利用上述条件建立的不等式即可求得的取值范围．解：(法1)设椭圆上，两点关于直线对称，直线与交于点．∵的斜率，∴设直线的方程为．由方程组消去得　　①。∴．于是，，即点的坐标为．∵点在直线上，∴．解得．　②将式②代入式①得　　③∵，是椭圆上的两点，∴．解得．(法2)同解法1得出，∴，，即点坐标为．∵，为椭圆上的两点，∴点在椭圆的内部，∴．解得．(法3)设，是椭圆上关于对称的两点，直线与的交点的坐标为．∵，在椭圆上，∴，．两式相减得，即．∴．又∵直线，∴，∴，即　①。又点在直线上，∴　　②。由①，②得点的坐标为．以下同解法2.说明：涉及椭圆上两点，关于直线恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式：(1)利用直线与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式，建立参数方程．(2)利用弦的中点在椭圆内部，满足，将，利用参数表示，建立参数不等式．[A组　基础演练]一、选择题1．已知椭圆的长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是(　　)A.＋＝1　　　　　　B.＋＝1或＋＝1C.＋＝1 D.＋＝1或＋＝1解析：依题意知，2a＝8，e＝＝，∴a＝4，c＝3，b2＝a2－c2＝16－9＝7.又焦点位置不确定，故椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.答案：B2．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝(　　)A.