北师版高数必修五第6讲：数列的前n项和求解方法（教师版）.docxVIP

数列的前n项和求解方法____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________教学重点：掌握数列前项和的求和方法，公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化求和法、并项求和等方法的应用。教学难点：了解数列求和的方法的应用。一、数列求和基本方法1．拆项求和法：将一个数列拆成若干个简单数列（如等差数列、等比数列、常数数列等等），然后分别求和.2．并项求和法：将数列的相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组）得到一个新的且更容易求和的数列.3．裂项求和法：将数列的每一项拆（裂开）成两项之差，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项.4．错位求和法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，这是仿照推导等比数列前n项和公式的方法.5．反序求和法：将一个数列的倒数第k项（k=1，2，3，…，n）变为顺数第k项，然后将得到的新数列与原数列进行变换（相加、相减等），这是仿照推导等差数列前n项和公式的方法.二．常用结论（1） 1+2+3+...+n = （2）1+3+5+...+(2n-1) =（3）（4）（5）（6）类型一：用公式法、倒序相加法求数列的和例1.求和：.解析：法一：①则②∴①+②有：∴法二：.答案：见解析练习1.求和.答案：∴∴∴例2.数列的前项和为，已知（Ⅰ）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；（Ⅱ）设，求数列的前项和。解析：由得：，即，所以，对成立。由，，…，相加得：，又，所以，当时，也成立。（Ⅱ）。而，，答案：见解析练习2.设，定义，其中n∈N*.（1）求数列｛an｝的通项公式；（2）若，答案：（1）＝2，，，∴∴，∴数列｛an｝上首项为，公比为的等比数列，（2）两式相减得：类型二：错位相减、裂项相消、分组转化求和、并项求和等方法例3.已知数列的通项公式，求它的前n项和.解析：==答案：见解析练习3.已知数列的通项公式求它的前n项和.答案：例4.已知数列的各项为正数，其前n项和，（I）求之间的关系式，并求的通项公式；（II）求证解析：I）①，而②，①—②得的等差数列，（II）答案：见解析练习4.设数列的前n项和为，点均在函数y＝3x－2的图像上。（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m。答案：（1）（2）满足要求的最小整数m为10。1.求答案：2.求数列，，，…，的前n项的和.答案：　　 .3.求和.答案：(1+2+3+…+n)+ =4.求和.答案：当x=±1时，Sn=4n；当x≠±1时， = =5.等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足：=，求数列的前项和.答案：（Ⅰ）由题意知,因为是等比数列,所以公比为3,所以数列的通项公式.（Ⅱ）===, 所以=+6.已知数列{}的通项公式是项和为答案：7.已知{}的前n项和的值为答案：67__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1.求和：答案：2.已知数列答案：为等比数列，∴应运用错位求和方法：3.求和答案：而运用反序求和方法是比较好的想法，①，②，①+②得4.若答案：5.设函数求和：答案：①当n为偶数时=②当n为奇数时6.设正项等比数列的首项，前n项和为，且。（Ⅰ）求的通项；（Ⅱ）求的前n项和。答案：（Ⅰ）由得即可得因为，所以解得，因而（Ⅱ）因为是首项、公比的等比数列，故则数列的前n项和前两式相减，得即7.已知数列的前项和为 ，点 在直线上，数列 满足 且其前 项和为. (1)求数列, 的通项公式；(2)设 ，数列的前n项的和为 ，求使不等式 对一切 都成立的最大正整数的值答案：（1），，（2）故k的最大正整数值为18。8.数列{}的前n项和为，且满足（I）求与的关系式，并求{}的通项公式；（II）求和答案：（I）（II）9.将等差数列{}的所有项依次排列，并如下分组：（），（），（），…，其中第1组有1项，第2组有2项，第3组有4项，…，第n组有项，记