北师版高数必修五第12讲：基本不等式（教师版）.docxVIP

均值不等式____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________教学重点： 掌握均值不等式的证明及应用，会用均值不等式求函数的最大值或最小值；教学难点： 利用均值不等式的证明。算术平均值与几何平均值算术平均值：对任意两个正实数，数 叫做的算术平均值几何平均值：对任意两个正实数，数叫做的几何平均值均值定理如果，那么，当且仅当时，等号成立均值不等式的常见变形（1） （2） （3）（同号且不为0） （4） 类型一： 均值不等式的理解设，则下列不等式不成立的是（）A. B. C. D. 解析：特值法，令，则A,B,C项都成立，而D项中， 显然不成立，故D项不成立。 答案：D练习1. 若a、b∈R，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是(　)A．a2＋b22ab　 B．a＋b≥2 C．＋ D．＋≥2答案：D练习2. 设0ab，则下列不等式中正确的是(　)A．ab　 B．ab C．ab D．ab答案：B类型二： 均值不等式与最值例2. 若正数x、y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是(　)A．　 B． C．5 D．6解析：由x＋3y＝5xy得＋＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)·(＋)＝＋＋＋≥2＋＝＋＝5，当且仅当＝时，得到最小值5.答案：C练习3. 设x、y∈R，且x＋y＝5，则3x＋3y的最小值为(　)A．10　 B．6 C．4 D．18答案：D练习4. 已知正项等差数列{an}中，a5＋a16＝10则a5a16的最大值为(　)A．100　 B．75 C．50 D．25答案：D类型三： 利用均值不等式证明不等式及应用例3. 已知a、b、c∈R，求证：＋＋≥(a＋b＋c)．解析：∵≤，∴≥＝(a＋b)(a，b∈R等号在a＝b时成立)．同理≥(b＋c)(等号在b＝c时成立)．≥(a＋c)(等号在a＝c时成立)．三式相加得＋＋≥(a＋b)＋(b＋c)＋(a＋c)＝(a＋b＋c)(等号在a＝b＝c时成立).答案：见解析练习5. 已知a、b是正数，试比较与的大小．答案：∵a0，b0，∴＋≥20.∴≤＝.即≤.练习6.若x0，y0，x＋y＝1，求证：(1＋)·(1＋)≥9..答案：证法一：左边＝(1＋)(1＋)＝1＋＋＋＝1＋＋＝1＋≥1＋＝9＝右边．当且仅当x＝y＝时，等号成立．证法二：∵x＋y＝1，∴左边＝(1＋)(1＋)＝(1＋)(1＋)＝(2＋)(2＋)＝5＋2(＋)≥5＋4＝9＝右边．当且仅当x＝y＝时，等号成立．例4. 在面积为S(S为定值)的扇形中，当扇形中心角为θ，半径为r时，扇形周长最小，这时θ、r的值分别是(　)A．θ＝1，r＝ B．θ＝2，r＝ C．θ＝2，r＝ D．θ＝2，r＝解析：S＝θr2?θ＝，又扇形周长P＝2r＋θr＝2≥4，当P最小时，r＝?r＝，此时θ＝2.答案：D练习7. 设计用32m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通规定车厢宽为2m，则车厢的最大容积是(　)A．(38－3)m3 B．16m3 C．4m3 D．14m3答案：B练习8. 将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为获得最大利润，售价应定在(　)A．每个95元 B．每个100元 C．每个105元 D．每个110元答案：A1. 若x＞0，y＞0，且x＋y≤4，则下列不等式中恒成立的是(　)A．≤　 B．＋≥1 C．≥2 D．≥1答案：B2. 已知m、n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是(　)A．100　 B．50 C．20 D．10答案：B3. 若a0，b0且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　)A．　 B．＋≤1 C．≥2 D．≤答案：D4. 实数x、y满足x＋2y＝4，则3x＋9y的最小值为(　)A．18　 B．12 C．2 D．答案：A5．设x＋3y－2＝0，则3x＋27y＋1的最小值为(　)A．7　 B．3 C．1＋2 D．5答案：A6. 设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　)A．8　 B．4 C．1 D．答案：B__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1. 若0a1,0b