北师版高数必修一第2讲：集合的关系与运算（教师版）.docxVIP

集合的关系与运算____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________掌握两个集合之间的包含关系和相等关系，能识别给定集合的子集。了解空集的含义与性质。理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。一、子集：一般地，对于两个集合与，如果集合的任何一个元素都是集合的元素，我们就说集合包含于集合，或集合包含集合。 记作: ， 读作：包含于或包含。特别提醒：1、“是的子集”的含义是：集合的任何一个元素都是集合的元素，即由，能推出。如：；。2、当“不是的子集”时，我们记作：“”，读作：“不包含于，（或不包含）”。如：。3、任何集合都是它本身的子集。即对于任何一集合，它的任何一个元素都属于集合本身，记作。4、我们规定：空集是任何集合的子集，即对于任一集合，有。5、在子集的定义中，不能理解为子集是集合中部分元素组成的集合。因为若，则中不含有任何元素；若=，则中含有中的所有元素，但此时都说集合是集合的子集。二、集合相等：一般地，对于两个集合与，如果集合的任何一个元素都是集合的元素，同时集合的任何一个元素都是集合的元素，我们就说集合等于集合，记作=。特别提醒：集合相等的定义实际上给出了我们判断或证明两个集合相等的办法，即欲证，只需证与都成立即可。三、真子集：对于两个集合与，如果，并且，我们就说集合是集合的真子集，记作：AB或BA, 读作A真包含于B或B真包含A特别提醒：1、空集是任何非空集合的真子集。2、对集合，，，如果，，那么。3、两个集合、之间的关系：四、并集：1、并集的概念：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合，叫做与的并集。记作：AB，读作：并。符号语言表达式为： 。韦恩（Venn）图表示，如右图（阴影部分）如：｛1,2,3,6｝｛1,2,5,10｝=｛1,2,3,5,6,10｝。特别提醒：（1）定义中“或”字的意义：用“或”字连接的并列成份之间不一定是互相排斥的。“”这一条件包含下列三种情况：；；。（2）对于，不能认为是由的所有元素和的所有元素组成的集合，因为与可能有公共元素，所以上述看法，从集合元素的互异性看是错误的。2、并集的性质：（1）； （2）； （3）； （4）。3、讨论两集合在各种关系下的并集情况：（1）若，则，如图①；（2）若，则，如图②； ① ② ③ （3）若，则（），如图③； （4）若与相交，则图④中的阴影部分； （5）若与相离，则图⑤中的阴影部分。 ④⑤五、交集：1、交集的概念：一般地，由所有属于且属于的元素所组成的集合,叫做与的交集。记作：；读作：交。 符号语言表达式为：韦恩（Venn）图表示，如右图（阴影部分）：如：｛1,2,3,6｝｛1,2,5,10｝=｛1,2｝．特别提醒：对于，是指中的任一元素都是与的公共元素，同时这些公共元素都属于。还有并不是任何两个集合总有公共元素，当集合与集合没有公共元素时，不能说与没有交集，而是。2、交集的运算性质：（1）；（2）；（3）；（4）。3、讨论两集合在各种关系下的交集情况：（1）若，则，如图①； （2）若，则，如图②； ① ② ③ （3）若，则（），如图③； （4）若与相交，则图④中的阴影部分； （5）若与相离，则，如图⑤。 ④ ⑤六：全集与补集：1、全集的概念：如果一个给定的集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用表示。2、补集的概念：一般地，设是一个集合，是的一个子集（即），由中所有不属于的元素组成的集合，叫做中子集的补集（或余集）。记作：?UA；读作：在中的补集；符号语言表达式为：?UA；韦恩（Venn）图表示，如右图（阴影部分）： 类型一子集、真子集的概念例1：已知集合M满足{1,2}?M{1,2,3,4,5}，求所有满足条件的集合M.解析：由条件知，集合M中一定有元素1,2，可能含有3,4,5中的部分数．故满足条件的集合M可以是：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}答案：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2