北师版高数必修一第5讲：函数的单调性（教师版）.docxVIP

函数的单调性____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________通过已学过的函数模型，特别是二次函数，理解函数的单调性；掌握单调性的判断方法，并能简单应用；一、函数单调性的定义1、图形描述：对于函数的定义域I内某个区间D上，若其图像为从左到右的一条上升的曲线，我们就说函数在区间D上为单调递增函数；若其图像为从左到右的一条下降的曲线，我们就说函数在区间D上为单调递减函数。2、定量描述对于函数的定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，（1）若当时，都有,则说在区间D上是增函数；（2）若当时，都有,则说在区间D上是减函数。3、单调性与单调区间若函数=在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。特别提醒：1、函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数（图1），当时是增函数，当时是减函数。而有的函数在整个定义域上都是单调的。2、函数的单调区间是其定义域的子集；3、应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）。二、用定义证明函数的单调性：定义法证明函数在某个区间上是增（减）函数是最基本方法其步骤是：1、取量定大小：即设是区间上的任意两个实数，且；2、作差定符号：即，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形； 3、判断定结论： 即根据定义得出结论。三、判断较复杂函数的单调性的几条有用的结论1、函数与函数的单调性相反2、当恒为正或恒为负时，函数与函数的单调性相反3、在公共区间内，增函数增函数增函数，增函数减函数增函数，减函数增函数减函数。四、复合函数单调性的判断 对于函数和，如果在区间上是具有单调性，当时，，且在区间上也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性的规律见下表：增 ↗减 ↘增 ↗减 ↘增 ↗减 ↘增 ↗减 ↘减 ↘增 ↗以上规律还可总结为：“同增异减”。类型一用定义证明函数的单调性例1：证明：函数f(x)＝2x2＋4x在(－∞，－1]上是减函数．解析：设x1x2≤－1，则Δx＝x2－x10，Δy＝f(x2)－f(x1)＝(2x＋4x2)－(2x＋4x1)＝2(x－x)＋4(x2－x1)＝2(x2－x1)(x1＋x2＋2)．∵x1x2≤－1，x1＋x2＋20，∴Δy0.∴f(x)在(－∞，－1]上是减函数．答案：见解析练习1：证明函数f(x)＝－在定义域上是减函数答案：设x1、x2是[0，＋∞)内的任意两个实数，且x1x2，则Δx＝x2－x10，Δy＝f(x2)－f(x1)＝－－(－)＝－＝＝∵x1－x2＝－Δx0，＋0，Δy0.∴f(x)＝－在[0，＋∞)上是减函数．练习2：(2014～2015学年度宁夏育才中学中学高一上学期月考)设函数f(x)=,用单调性定义证明在（-1，+）上是减函数。答案：设任意x1∈(－1，＋∞)，x2∈(－1，＋∞)，且x1x2.f(x2)－f(x1)＝－＝类型二 证明含参数的函数的单调性例2：已知函数f(x)＝(a为常数且a≠0)，试判断函数f(x)在(－1,1)上的单调性．解析　任取x1、x2，使得－1x1x21，则Δx＝x2－x10.Δy＝f(x2)－f(x1)＝，∵－1x1x21，∴x1x2＋10，x－10，x－10，∴0，∴当a0时，f(x2)－f(x1)0，故此时函数f(x)在(－1,1)上是减函数，当a0时，f(x2)－f(x1)0，故此时f(x)在(－1,1)上是增函数．综上所述，当a0时，f(x)在(－1,1)上为减函数，当a0时，f(x)在(－1,1)上为增函数．答案：增函数．练习1：判断函数f(x)＝(a为常数且a≠0)在(0，＋∞)上的单调性．答案：当a0时， f(x)在(0，＋∞)上是减函数，当a0时， f(x)在(0，＋∞)上是增函数．练习2：判断函数在上的单调性答案：单调递减函数类型三证明抽象函数的单调性例3：已知函数y＝f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(x)0(x0)，试判断F(x)＝在(0，＋∞)上的单调性，并证明．解析：F(x)在(0，＋∞)上为减函数．下面给出证明：任取x1、x2∈(0，＋∞)，且Δx＝x2－x10.∵Δy＝F(x2)－F(x1)＝－＝，又y＝f(x)在(0，＋∞)上为增函数，