北师版高数必修一第6讲：函数的奇偶性（教师版）.docxVIP

函数的奇偶性____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________理解函数的奇偶性及其图像特征；能够简单应用函数的奇偶性及其图像特征；一、函数奇偶性定义1、图形描述： 函数的图像关于轴对称为偶函数；函数的图像关于原点轴对称为奇函数定量描述一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，则称为偶函数；如果都有，则称为奇函数；如果与同时成立，那么函数既是奇函数又是偶函数；如果与都不能成立，那么函数既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。　如果函数是奇函数或偶函数，则称函数具有奇偶性。特别提醒：1、函数具有奇偶性的必要条件是：函数的定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称。换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具备奇偶性。2、用函数奇偶性的定义判断函数是否具有奇偶性的一般步骤：（1）考察函数的定义域是否关于原点对称。若不对称，可直接判定该函数不具有奇偶性；若对称，则进入第二步；（2）判断与这两个等式的成立情况，根据定义来判定该函数的奇偶性。二、函数具有奇偶性的几个结论1、是偶函数的图像关于轴对称；是奇函数的图像关于原点对称。 2、奇函数在有定义，必有。3、偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同。4、是定义域为且要关于原点对称，那么就有以下结论：奇奇奇 偶偶偶奇奇偶偶偶偶 奇偶奇5、复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”。6、多项整式函数的奇偶性多项式函数是奇函数的偶次项的系数和常数项全为零；多项式函数是偶函数的奇次项的系数全为零。类型一 函数奇偶性的判断例1：判断下列函数是否具有奇偶性：(1)f(x)＝2x4＋3x2；(2)f(x)＝＋x；解析：(1)函数f(x)的定义域为R，又∵f(－x)＝2(－x)4＋3(－x)2＝2x4＋3x2＝f(x)，∴函数f(x)＝2x4＋3x2是偶函数．(2)函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又∵f(－x)＝－x＝－(＋x)＝－f(x)，∴函数f(x)＝＋x是奇函数．答案：（1）偶函数 （2）奇函数练习1：判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x2＋1；(2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；答案：（1）偶函数 （2）奇函数练习2：(2014～2015学年度山东枣庄第八中学高一上学期期中测试)下列函数中，既是奇函数又是增函数的是(　　)A．y＝x＋1　　　　　B．y＝－x2C．y＝D．y＝x|x|答案：D类型二分段函数奇偶性的判定例2：用定义判断函数f(x)＝的奇偶性．解析：任取x0，则－x0.∴f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝－(－x2＋1)＝－f(x)．又任取x0，则－x0.∴f(－x)＝－(－x)2＋1＝－x2＋1＝－(x2－1)＝－f(x)．对x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x)成立．∴函数f(x)为奇函数．答案：奇函数练习1：判断函数f(x)＝的奇偶性．答案：奇函数.练习2：如果F(x)＝是奇函数，则f(x)＝________.的单调性答案：2x＋3类型三利用奇(偶)函数图象的对称特征，求关于原点对称的区间上的解析式例3：若f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)＝x(1－x)，求：当x≥0时，函数f(x)的解析式．解析：当x0时，－x0，∵当x0时，f(x)＝x(1－x)，∴f(－x)＝－x(1＋x)，又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x(1＋x)，∴f(x)＝x(1＋x)，又f(0)＝f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0，∴当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)．答案：x(1＋x)练习1：(2014～2015学年度安徽宿州市十三校高一上学期期中测试)已知函数f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)＝2x＋1，则函数f(x)的解析式为________________．答案：　f(x)＝练习2：(2014～2015学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)＝－x＋1，则当x0时，f(x)的表达式为(　　)A．f(x)＝x＋1 B．f(x)＝x－1C．f(x)＝－x＋1 D．f(x)＝－x－1答案：D类型四 抽象函数奇偶性的证明例4：已知函数y＝f(x)(x∈R)，若对于任意实数a、b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证： f(x)为奇函数．解析：令a＝0，则f(b)＝f(0)＋f