北师版高数必修一第10讲：对数与对数运算（教师版）.docxVIP

对数与对数运算____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的相互转化，并能运用指对互化关系研究一些问题.一、对数的定义一般地，如果 的次幂等于, 就是 ，那么数 叫做 以为底 的对数，记作 ，叫做对数的底数，叫做真数。特别提醒：1、对数记号只有在，时才有意义，就是说负数和零是没有对数的。2、记忆两个关系式：①；②。 3、常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。为了简便, 的常用对数， 简记作：。 例如：简记作 ; 简记作。4、自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e为底的对数，以e为底的对数叫自然对数。为了简便，的自然对数，简记作：。 如：简记作；简记作。二、对数运算性质：如果 有：特别提醒：1、对于上面的每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数记号都有意义时，等式才成立。如是存在的，但是不成立的。2、注意上述公式的逆向运用：如；三、对数的换底公式及推论：对数换底公式：两个常用的推论:（1） （2）四、两个常用的恒等式：， 类型一指数式与对数式的相互转化例1：将下列指数式与对数式进行互化．(1)3x＝；　　　　　　(2)x＝64；(3)5－＝； (4)log4＝4；(5)lg0.001＝－3; (6)log－1(＋1)＝－1.解析：(1)log3＝x.(2)64＝x.(3)log5＝－.(4)()4＝4.(5)10－3＝0.001.(6)(－1)－1＝＋1.答案：见解析练习1：将下列指数式与对数式进行互化．(1)e0＝1；(2)(2＋)－1＝2－；(3)log327＝3；(4)log0.10.001＝3.答案：(1)ln1＝0.(2)log(2＋)(2－)＝－1.(3)33＝27.(4)0.13＝0.001.练习2：将下列对数式与指数式进行互化．(1)2－4＝；(2)53＝125；(3)lga＝2；(4)log232＝5.答案：(1)log2＝－4.(2)log5125＝3.(3)102＝a.(4)25＝32.类型二对数基本性质的应用例2：求下列各式中x的值．(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lgx)＝1；解析：(1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝1，∴x＝5.(2)∵log3(lgx)＝1，∴lgx＝3，∴x＝103＝1 000.答案：（1）x＝5.（2） x＝1 000.练习1：已知log2(log3(log4x))＝log3(log4(log2y))＝0，求x＋y的值．答案：80练习2：(2014～2015学年度陕西宝鸡市金台区高一上学期期中测试)已知4a＝2，lgx＝a，则x＝______. 　答案：类型三对数的运算法则例3：计算(1)loga2＋loga(a0且a≠1)；(2)log318－log32；(3)2log510＋log50.25；解析：(1)loga2＋loga＝loga(2×)＝loga1＝0.(2)log318－log32＝log3(18÷2)＝log39＝2.(3)2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log5(100×0.25)＝log525＝2.答案:（1）0 （2）2 （3）2练习1：(2014～2015学年度陕西宝鸡市金台区高一上学期期中测试)计算log535＋2log2－log5－log514的值．答案:4练习2：(2014～2015学年度山西太原市高一上学期期中测试)计算：2log510＋log50.25的值为________．答案：2类型四带有附加条件的对数式的运算例4：lg2＝a，lg3＝b，试用a、b表示lg108，lg.解析：lg108＝lg(27×4)＝lg(33×22)＝lg33＋lg22＝3lg3＋2lg2＝2a＋3b.lg＝lg18－lg25＝lg(2×32)－lg＝lg2＋lg32－lg102＋lg22＝lg2＋2lg3－2＋2lg2＝3a＋2b－2.答案：3a＋2b－2.练习1：已知lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，求lg.答案：0.8266练习2：若lgx－lgy＝a，则lg()3－lg()3等于(　　)A．B．aC．D．3a答案:D类型五应用换底公式求值例5:计算：lg－lg＋lg12.5－log89·log278.解析：lg－lg＋lg12.5－log89·log278＝lg－lg＋lg－·＝lg－＝1－＝.答案：练习