北师大版高数必修二第4讲：空间图形的基本关系与公理（学生版）—.docxVIP

空间图形的基本关系与公理____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________理解和掌握平面的性质定理，能合理运用；掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；会判断异面直线、掌握异面直线的求法；会用图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系．一、平面1.平面的概念：平面是一个不加定义，只需理解的原始概念．立体几何里所说的的平面是从现实生活中常见的平面抽象出来的．常见的桌面、平静的水面等都给我们以平面的局部形象．平面是理想的、绝对的平且无大小，无厚度，不可度量．2.平面的表示方法：(1)一个平面：当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45，横边画成邻边的2倍长，如右图．(2)两个相交平面：画两个相交平面时，通常要化出它们的交线，当一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如下图）3.运用集合观点准确使用图形语言、符号语言和文字语言空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此还可借用集合中的符号语言来表示点、线、面的基本位置关系如下表所示：图形语言符号语言文字语言（读法）点在直线上点不在直线上点在平面内点不在平面内直线、交于点直线在平面内直线与平面无公共点直线与平面交于点平面、相交于直线二、平面的基本性质1.公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的_____都在这个平面内推理模式：． 如图示：或者：∵，∴公理1的作用：①判定直线是否在平面内；②判定点是否在平面内；③检验面是否是平面．2.公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的______推理模式：如图示： 或者：∵，∴公理2的作用：(1)判断两个平面是否相交及交线位置；(2)判断点是否在线上今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线)．(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．(2)有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．3.公理3 ____________________________________________推理模式：与重合或者：∵不共线，∴存在唯一的平面，使得.推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．(2)“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．三、空间两直线的位置关系位置关系共面情况公共点个数相交直线在同一平面内有且只有一个公共点平行直线在同一平面内没有公共点异面直线不同在任何一个平面内没有公共点四、平行直线1.公理4平行公理__________________________________________推理模式：．(1)它是判断空间两条直线平行的依据； (2)它说明平行关系具有传递性2.等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，且方向相同，那么这两个角_______．由球的半径R计算球表面积的公式：S球＝.即球面面积等于它的大圆面积的4倍．五、异面直线1.定义：不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线(1)异面直线既不平行，也不相交，永远不存在一个平面能同时包含这两直线； (2)不能把异面直线误认为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线(3)异面直线一般是对两条直线而言的，没有三条异面直线的说法．2．异面直线的画法画异面直线时，为了充分显示不共面的特点，常常需要以辅助平面为衬托，以加强直观性．3．异面直线判定定理过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线 推理模式：直线与直线是异面直线六、异面直线所成的角1.定义：已知，是两条异面直线，经过空间任意一点作直线，我们把直线和所成的锐角（或直角）叫做异面直线，所成的角．(1)异面直线所成的角与点的位置无关．(2)如果两条异面直线所成角是直角