北师大版高数必修二第10讲：点、直线的距离和对称（教师版）.docxVIP

点、直线的距离和对称____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________掌握点、直线的距离问题；会求解直线对称的问题．一、距离问题 1.设平面上两点，则为两点间距离2．点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的距离d＝.3．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0的距离d＝.二、对称问题1.关于点对称问题（1）点关于点对称点关于点的对称点是．特别地，点关于原点的对称点为．（2）线关于点对称已知的方程为：和点，则关于点的对称直线方程．设是对称直线上任意一点，它关于的对称点在直线上，代入得．此直线即为所求对称直线．2.关于线对称问题（1）点关于线对称 已知点，直线，设点关于直线的对称点为，则由得到一个关于的方程，又线段的中点在直线得到另一个关于的方程，解方程组 即可求出点．特别说明：①点关于轴对称的点的坐标是，关于轴对称点的坐标是②点关于直线的对称点坐标是，关于对称点为（2）线关于线对称已知,求直线关于直线对称直线．如右图所示，在直线上任取不同于与交点的任一点，先求出点关于直线的对称点的坐标，再由在上，用两点式求出直线的方程．常见的对称结论有：设直线．关于轴的对称的直线是：；②关于轴的对称的直线是：；③关于原点的对称的直线是：；④关于的对称的直线是：；⑤关于的对称的直线是：；类型一 点到直线的距离例1：求点P(3，－2)到下列直线的距离：(1)3x－4y－1＝0；(2)y＝6；(3)y轴．解析：本题主要考查点到直线的距离公式的应用，直接代入点到直线的距离公式即可．答案：(1)由点到直线的距离公式可得d＝＝.(2)由直线y＝6与x轴平行，得d＝|6－(－2)|＝8.或将y＝6变形为0·x＋y－6＝0，∴d＝＝8.(3)d＝|3|＝3.练习1：求点P(－1,2)到直线2x＋y－5＝0的距离；答案：由点到直线距离公式d＝.练习2：点A(a,6)到直线3x－4y＝2距离等于4，求a的值；答案：由点到直线的距离公式＝4，∴a＝2或.练习3：求过点A(－1,2)且与原点距离等于的直线方程．答案：设所求直线l：y－2＝k(x＋1)，原点O(0,0)到此直线距离为，可求得k＝－1或－7，∴所求直线方程为x＋y－1＝0或7x＋y＋5＝0.例2：已知在△ABC中，A(3,2)、B(－1,5)，C点在直线3x－y＋3＝0上．若△ABC的面积为10，求C点坐标．解析：本题易求|AB|＝5，C点到AB的距离即为△ABC中AB边上的高．设C(x0，y0)，则y0＝3x0＋3，从而可建立x0的方程求解．答案：设点C(x0，y0)，∵点C在直线3x－y＋3＝0上，∴y0＝3x0＋3.∵A(3,2)、B(－1,5)，∴|AB|＝＝5.设C到AB的距离为d，则d·|AB|＝10，∴d＝4.又直线AB的方程为＝，即3x＋4y－17＝0，∴d＝＝＝|3x0－1|＝4.∴3x0－1＝±4，解得x0＝－1或.当x0＝－1时，y0＝0；当x0＝时，y0＝8.∴C点坐标为(－1,0)或(，8)．练习1：求经过点P(1,2)的直线，且使A(2,3)，B(0，－5)到它的距离相等的直线方程．答案：解法一：当直线斜率不存在时，即x＝1，显然符合题意，当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k，即直线方程为y－2＝k(x－1)，由条件得＝，解得k＝4，故所求直线方程为x＝1或4x－y－2＝0.解法二：由平面几何知识知l∥AB或l过AB中点．∵kAB＝4，若l∥AB，则l的方程为4x－y－2＝0.若l过AB中点(1，－1)，则直线方程为x＝1，∴所求直线方程为：x＝1或4x－y－2＝0.练习2：若动点，分别在直线上移动，则的中点到原点的距离的最小值是（ ）A． B．C．D．答案：B类型二 两条平行线之间的距离例3：求两平行线l1：3x＋4y＝10和l2：3x＋4y＝15的距离．解析：由题目可获取以下主要信息：①直线l1与l2的方程已知；②l1与l2平行．解答本题可转化为点到直线的距离或直接利用两平行线间的距离公式或利用原点到两平行线距离的差，从而求解．答案：解法一：若在直线l1上任取一点A(2,1)，则点A到直线l2的距离，即是所求的平行线间的距离．如图①所示，∴d＝＝1.解法二：设原点到直线l1、l2的距离分别为|OF|、|OE|，则由图②可知，|OE|－|OF|即为所求．∴|OE|－|OF|＝－＝1，即两平行线间的距离为1.解法三：直线l1、l2的方程可化为