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北师大版高数必修二第11讲:圆的方程(教师版).docxVIP

北师大版高数必修二第11讲:圆的方程(教师版).docx

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圆的方程____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________掌握圆的标准方程会求圆的标准方程;圆的一般方程和代入法的掌握、应用.一、圆的标准方程1.平面内到定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆,定点是圆心,定长是半径.2.确定圆的几何要素:(1)不共线三点确定一个圆,圆心在任意两点连线段的中垂线上,三点确定的三角形叫该圆的内接三角形,该圆叫做这个三角形的外接圆,圆心叫做三角形的外心.(2)圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小,只要圆心和半径确定下来,圆也就确定下来了,因此求圆的方程必须具备三个独立条件.3.圆心为(a,b)半径为r(r0)的圆的方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2,称作圆的标准方程.特别地,圆心在原点、半径为r的圆方程为x2+y2=r2.4.点P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系.P在圆外?(x0-a)2+(y0-b)2r2,P在圆上?(x0-a)2+(y0-b)2=r2,P在圆内?(x0-a)2+(y0-b)2r2.二、圆的一般方程1.圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,配方得2+2=.(1)当D2+E2-4F0时,方程表示以为圆心,为半径的圆;(2)当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点;(3)当D2+E2-4F0 时,方程没有实数解,它不表示任何图形.2.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件是:A=C≠0,B=0,D2+E2-4F0 .3.点P(x0,y0)与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)的位置关系是:P在圆内?,P在圆上?,P在圆外?.4.求轨迹方程的五个步骤:(1)建系:建立适当的坐标系,用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;(2)设点:写出适合条件P的点M的集合P={M|p(M)};(3)列式:用坐标(x,y)表示条件p(M),列出方程F(x,y)=0;(4)化简:化方程F(x,y)=0为最简形式;(5)查漏、剔假:证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.类型一 圆的标准方程例1:写出下列方程表示的圆的圆心和半径.(1)x2+y2=2;(2)(x-3)2+y2=4;(3)x2+(y-1)2=9;(4)(x+1)2+(y+2)2=8.解析:用圆的标准方程的公式解决.答案:(1)圆心(0,0),半径为.(2)圆心(3,0),半径为2.(3)圆心(0,1),半径为3.(4)圆心(-1,-2),半径为2.练习1:已知圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),试根据下列条件,分别写出a、b、r应满足的条件:(1)圆心在x轴上;(2)圆与y轴相切;(3)圆过原点且与y轴相切;(4)圆与两坐标轴均相切.答案:(1)b=0.(2)r=|a|(a≠0).(3)r=|a|(a≠0,b=0).(4)|a|=|b|=r(a≠0,b≠0).练习2:已知圆的方程为,试判断点是在圆上,圆内,还是在圆外?答案:∵ ∴点在圆上 ∵ ∴点在圆外 ∵ ∴点在圆内例2:(2014·辽宁大连第三中学高一期末测试)过两点P(2,2)、Q(4,2),且圆心在直线x-y=0上的圆的标准方程是(  )A.(x-3)2+(y-3)2=2B.(x+3)2+(y+3)2=2C.(x-3)2+(y-3)2=D.(x+3)2+(y+3)2=解析:解法一:点P(2,2)不在选项B、C、D中的圆上,排除B、C、D,故选A.解法二:设圆心坐标为(a,a),半径为R,由题意得(a-2)2+(a-2)2=(a-4)2+(a-2)2,解得a=3.∴R2=(3-2)2+(3-2)2=2,故选A.答案:A练习1:求经过点A(10,5)、B(-4,7),半径为10的圆的方程.答案:解法一:设圆心为(a,b)∴①-②整理得7a-b-15=0,即b=7a-15,③将③代入①得a2-6a+8=0.∴a=2或a=4,则b=-1或b=13.故所求圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=100或(x-4)2+(y-13)2=100.解法二:A、B的垂直平分线方程为y-6=-(x-3)即y=7x-15.设圆心为(a,b),由于圆心在AB的垂直平分线上,∴b=7a-15,①又∵(a-10)2+(b-5)2=100,②将①代入②可得a=2或a=4.(以下同解法一)练习2:求满足下列条件的方程(1)圆心在原点,半径是; (2)圆心在点上,半径半径是;

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