北师大版高数必修四第2讲：任意角的三角函数（教师版）.docVIP

任意角的三角函数 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系； 2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。 3.牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题. （一）任意角的三角函数： 任意点到原点的距离公式： 1.三角函数定义： 在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么 （1）比值叫做α的正弦，记作，即； （2）比值叫做α的余弦，记作，即； （3）比值叫做α的正切，记作，即； （4）比值叫做α的余切，记作，即； 2.说明：（1）α的始边与轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置； （2）根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点在α的终边上的位置的改变而改变大小； （3）当时，α的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标都等于，所以无意义；同理当时，无意义； （4）除以上两种情况外，对于确定的值α，比值、、、分别是一个确定的实数。 正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。 单位圆与三角函数线： 1.三角函数线的定义：当角的终边上一点的坐标满足时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。 2.有向线段：带有方向的线段。 坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。 规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。 3．三角函数线的定义： 设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点，过 作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点. 由四个图看出： 当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有 ， ， 我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。 4.说明： （1）三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦线 在轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆 内，一条在单位圆外。 （2）三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。 （3）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值，与轴或轴反向的为负值。 （4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。 5.三角函数在各象限符号： 任意角的三角函数符号的记忆方法： 口诀：“全正切余”可音译为“全是天才” （三）同角三角函数的基本关系： 由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：（1）商数关系： （2）平方关系： 2.说明： （1）注意“同角”，至于角的形式无关重要，如等； （2）注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如 ； （3）对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如： ， ， 等。 类型一：任意角的三角函数 例1．已知角α的终边经过点，求α的三个函数制值。 解： 练习：已知角的终边过点，求角的正弦、余弦和正切值. 解：,,. 例2．求下列各角的三个三角函数值： （1）； （2）； （3）． 解：（1）sin0=0 cos0=1 tan0=0 （2） （3） 类型二：三角函数的定义与三角函数的符号 1.利用三角函数值的符号确定角的终边所在的象限 例3 确定下列三角函数值的符号 （1）； （2）； （3）； （4）. 导思：直接根据三角函数值的符号法则来确定. 解析：（1）因为是第三象限角，故； （2）因为是第四象限角，故；. （3），而是第一象限角，故； （4），而是第四象限角，故. 练习：1.点位于第________象限； 2.，，的大小关系是_________________(用“”号连接). 2.利用三角函数的定义求值 例4 已知角终边上一点与轴的距离和与轴的距离之比为:(且均不为零)，求的值. 导思：直接根据三角函数的定义进行求解，应注意距离之比是绝对值之比. 解析：若角的终边过点，则； 若角的终边过点，则；