北师大版高数必修四第4讲：三角函数的图像与性质（教师版）.docVIP

三角函数的图像与性质 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 一、三角函数的图像： 1． 正弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有，向线段MP叫做角α的正弦线， 2．用单位圆中的正弦线作正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象（几何法）： 把y=sinx，x∈[0，2π]的图象，沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R叫做正弦曲线 3．用五点法作正弦函数的简图（描点法）： 正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是： 1、用单位圆中的余弦线作余弦函数的图象（几何法）： 为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．y=cosx x([0,2(]的五个点关键是 (0,1) (,0) ((,-1) (,0) (2(,1) 现在把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=cosx，x∈R的图象， 3、正切函数的图象： 我们可选择的区间作出它的图象 根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数，且的图象，称“正切曲线” (0,0) (,1) (π,0) (,-1) (2π,0) 二、三角函数的性质: 图象 定义域 值域 最值 当时，；当 时，． 当时， ；当 时，． 既无最大值也无最小值 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 上是增函数； 在 上是减函数． 在上是增函数； 在上是减函数． 在 上是增函数． 对称性 对称中心 对称轴 对称中心 对称轴 对称中心 无对称轴 类型一、三角函数的图像： 例1. 作出函数的图象 分析：首先将函数的解析式变形，化为最简形式，然后作出函数的图象。 解析：化为 即 其图象如图： 点评：画的图象可分为两步完成，第一步先画出和，的图象，第二步将得到的图象向左、右平移，即可得到完整的曲线。 例2： 解析： 类型二、三角函数的性质： 例3. 求下列函数的周期 （1） （2） 分析：该例的两个函数都是复合函数，我们可以通过变量替换将它们归结为基本三角函数去处理。 解析：（1）如果令，则是周期函数，且周期为 即 的周期是 （2） 即 的周期是。 练习：求下列三角函数的周期： 1( y=sin(x+) 2( y=cos2x 3( y=3sin(+) 4( y=tan3x 例:4. 比较下列各组数的大小。 （1）sin194°和cos160°；（2）和； （3）和 分析：先化为同名函数，然后利用单调性来比较函数值的大小。 解析：（1） ， 从而 即 （2） 又 在［］上是减函数 即 （3） 而在内递增 点评： （1）比较同名的三角函数值的大小，首先把三角函数转化为同一单调区间上的同名三角函数，利用单调性，由自变量的大小确定函数值的大小。 （2）比较不同名的三角函数的大小时，应先化为同名三角函数，然后再进行比较。 练习：比较下列各组数的大小 (1)sin(－)、sin(－)； (2)cos(－)、cos(－)． 解：(1)∵－＜－＜－＜． (2)cos(－)＝cos＝cos 且函数y＝sinx，x∈［－，］是增函数 cos(－)＝cos＝cos ∴sin(－)＜sin(－) ∵0＜＜＜π 即sin(－)－sin(－)＞0 且函数y＝cosx，x∈［0，π］是减函数 ∴cos＜cos 即cos－cos＜0 ∴cos(－)－cos(－)＜0 例5. 求下列函数的最大值和最小值 （1） （2）