北师大版高数必修四第6讲：平面向量的概念及线性运算（教师版）.docVIP

平面向量的基本概念与线性运算 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、了解向量、向量的相等、共线向量等概念； 2、掌握向量、向量的相等、共线向量等概念． 3、熟练掌握向量的线性运算法则：加法法则，减法法则，数乘法则. *创设情境 兴趣导入 如图7－ 图7－A为起点，B为终点的向量记作．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作． 图7－ 的模依次记作，． 3、 零向量：长度为0的向量叫做零向量其方向是任意的．单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量． 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又称为共线向量任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．相反向量：与向量a长度相等且方向相反的向量叫做a的相反向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．a＋b叫做a, b的一个线性组合（其中,均为系数）．如果l ＝a＋ b，则称l可以用a，b线性表示． 向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算． 三角形法则： 位移叫做位移与位移的和，记作=+． 一般地，设向量a与向量b不共线，在平面上任取一点A(如图7－6)，依次作=a, =b，则向量叫做向量a与向量b的和，记作a＋b ，即 a＋b =＋= （7．1） 求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法则． 2、平行四边形法则：如图7－9所示， ABCD为平行四边形，由于=，根据三角形法则得 ＋=＋= 这说明，在平行四边形ABCD中， 所表示的向量就是与的和．这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则． 平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质： （1）a＋0 = 0＋a = a； a＋（?a）= 0； （2）a＋b=b＋a； （3）（a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）． 3、平面向量减法法则： 与数的运算相类似，可以将向量a与向量b的负向量的和定义为向量a与向量b的差．即 a ?b = a＋(?b)． 设a，b ，则 ． 即 = （7．2） 观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a、 b，其差a－b仍然是一个向量，叫做a与b的差向量，其起点是减向量b的终点，终点是被减向量a的终点． 一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的模为 （7．3） 若0，则当＞0时，a的方向与a的方向相同，当＜0时，a的方向与a的方向相反． 由上面定义可以得到，对于非零向量a、b，当时，有 （7．4） 一般地，有 0a= 0, 0 = 0 ．　　　　 数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于任意向量a, b及任意实数，向量数乘运算满足如下的法则： 题型1　平面向量的基本概念　给出下列六个命题：两个向量相等则它们的起点相同终点相同；若|a|＝|b|则a＝b；若＝则A、B、C、D四点构成平行四边形；在中一定有＝；若m＝n＝p则m＝p；若a∥bb∥c，则a∥c.其中错误的命题有________(填序号)答案：①②③⑥解析：两向量起点相同终点相同则两向量相等；但两相等向量不一定有相同的起点和终点故①不正确；|a|＝|b|由于a与b方a、b不一定相等故②不正确；＝可能有A、B、C、D在一条直线上的情况所以③不正确；零向量与任一向量平行故a∥b时若b＝0则a与c不一定平行故⑥不正确．相等的向量； （2）找出向量的负向量； （3）找出与向量平行的向量． 分析 要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反． 解 由平行四边形的性质，得 （1）=； （2）=,； （3）//,//，//． 练习： 1． 如图，ABC中，D、E、F分别是三边的中点，试写出 （1）