北师大版高数必修四第6讲：平面向量的概念及线性运算（学生版）.docVIP

平面向量的基本概念与线性运算 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、了解向量、向量的相等、共线向量等概念； 2、掌握向量、向量的相等、共线向量等概念． 3、熟练掌握向量的线性运算法则：加法法则，减法法则，数乘法则. 平面向量的概念： 1、平面向量：________________________________________________________ 向量的模长：________________________________________________________ 零向量单位向量： 平行向量： 相等向量：相反向量：a＋b叫做a, b的一个线性组合（其中,均为系数）．如果l ＝a＋ b，则称l可以用a，b线性表示． 向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算． 三角形法则： 位移叫做位移与位移的和，记作____________________ 2、平行四边形法则：如图7－9所示， ABCD为平行四边形，由于=，根据三角形法则得 ＋=________________________ 平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质： （1）a＋0 = 0＋a = a； a＋（?a）= 0； （2）a＋b=b＋a； （3）（a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）． 3、平面向量减法法则： 与数的运算相类似，可以将向量a与向量b的负向量的和定义为向量a与向量b的差．即 a ?b = a＋(?b)． 设a，b ，则 ． 即 = （7．2） 观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a、 b，其差a－b仍然是一个向量，叫做a与b的差向量，其起点是减向量b的终点，终点是被减向量a的终点． 一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的模为 （7．3） 若0，则当＞0时，a的方向与a的方向相同，当＜0时，a的方向与a的方向相反． 由上面定义可以得到，对于非零向量a、b，当时，有 （7．4） 一般地，有 0a= 0, 0 = 0 ．　　　　 数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于任意向量a, b及任意实数，向量数乘运算满足如下的法则： 题型1　平面向量的基本概念　给出下列六个命题：两个向量相等则它们的起点相同终点相同；若|a|＝|b|则a＝b；若＝则A、B、C、D四点构成平行四边形；在中一定有＝；若m＝n＝p则m＝p；若a∥bb∥c，则a∥c.其中错误的命题有________(填序号)相等的向量； （2）找出向量的负向量； （3）找出与向量平行的向量． 练习： 1． 如图，ABC中，D、E、F分别是三边的中点，试写出 （1）与相等的向量；（2）与共线的向量． 2．如图，O点是正六边形ABCDEF的中心，试写出 （1）与相等的向量； （2）的负向量； （3）与 题型2　向量的线性表示－，求物体受到沿两条绳子的方向的拉力与的大小． 练习： 如图，已知a，b，求a＋b． 2．填空（向量如图所示）： （1）a＋b =_____________ , （2）b＋c =_____________ , （3）a＋b＋c =_____________ ． 3．计算： （1）＋＋； （2）＋＋． 例5 已知如图7－14（1）所示向量a 、b ，请画出向量a－b． 练习： 1．填空：（1）=_______________， （2）=______________， （3）=______________． 2．如图，在平行四边形ABCD中，设= a,= b，试用a, b表示向量、、． 例6 在平行四边形ABCD中，O为两对角线交点如图7－16，＝a ，＝b，试用a, b表示向量、． 练习： 1． 计算：（1）3（a ?2 b）－2（2 a＋b）； （2）3 a ?2（3 a ?4 b）＋3（a ?b）． 2．设a, b不共线，求作有向线段，使＝（a＋b）． 例　平行四边形OADB的对角线交点为C＝＝＝a＝b用a、b表示、、 练习： 练习：在△ABC中、F分别为AC、AB的中点与CF相交于G点设＝a＝b试用a表示 题型3