北师大版高数必修四第7讲：平面向量基本定理及坐标运算（学生版）（.docVIP

平面向量基本定理与坐标运算 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示; 2.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算. 3.会用坐标表示平面向量共线的条件，进而解决一些相关问题. 4.了解平面向量的基本定理及其意义. 1．平面向量基本定理：_____________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 二、平面向量的坐标表示： 如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个__单位向量_ 、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得…………， 我们把叫做向量的（直角）坐标，记作 ………… 其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示 与相等的向量的坐标也为 特别地，，， 特别提醒：设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示 三、平面向量的坐标运算： （1） 若，，则=______________， = _______________ 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差 （2） 若，，则 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标 （3）若和实数，则 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 （4）向量平行的充要条件的坐标表示：设=(x1, y1) ，=(x2, y2) 其中( ∥ (()的充要条件是 类型一　平面向量基本定理的应用 【例1】(2012·南京质检)如图所示，在ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________. 【训练1】 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若＝x＋y，则x＝________，y＝________. [例1]，AD与BC交于点M，设=，=，用,表示. 练习：1．若已知、是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( ) A．与— B．3与2 C．＋与— D．与2在△ABC中,已知 AM︰AB =1︰3, AN︰AC =1︰4，BN与CM交于点P且,试 用表示 类型二　平面向量的坐标运算 【例2】(2011·合肥模拟)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2.求M，N的坐标和. 【训练2】 在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　A．(－2，－4) B．(－3，－5) C．(3,5) D．(2,4) A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则(2= 4．M(3, -2) N(-5, -1) 且 , 求P点的坐标； 类型三　平面向量共线的坐标运算 【例3】已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，是否存在实数k，使得ka＋b与a－3b共线，且方向相反？ 【训练3】 (2011·西安质检)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)b，c(a＋b)，则c＝(　　)． A. B. C. D. 9．已知,当实数取何值时,＋2与2—4平行？ 一、选择题 1．设e1、e2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是(　　) A．e1＋e2和e1－e2　　　 B．3e1－2e2和4e2－6e1 C．e1＋2e2和e2＋2e1 D．e2和e1＋e2 ．下面给出了三个命题： 非零向量a与b共线，则a与b所在的直线平行； 向量a与b共线的条件是当且仅当存在实数λ1、λ2，使得λ1a＝λ2b； 平面内的任一向量都可用其它两个向量的线性组合表示． 其中正确命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 ．给出下列结论：若a≠b，则|a＋b||a|＋|b|；非零向量a、b共线，则|a＋b|0；对任意向量a、b，|a－b|≥0；若非零向量a、b共线且反向，则|a－b||a|.其中正确的有(　　)个．(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 ．已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(x