北师大版高数必修四第8讲：平面向量数量积（教师版）.docVIP

平面向量的基本概念与线性运算 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示. 2平面向量数量积的应用. 一、平面向量数量积的物理背景及定义： 以物理学中的做功为背景引入 问题：观察讨论做功的公式中左右两端的量分别是什么量？什么影响了功的大小？如何精确的给出数学中的定义？ 力做的功：W = |F|(|s|cos(，(是F与s的夹角 1、两个非零向量夹角的概念： 已知非零向量与，作＝，＝，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角 说明： （1）当θ＝０时，与同向； （2）当θ＝π时，与反向； （3）当θ＝时，与垂直，记⊥； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0(≤(≤180( 2、平面向量数量积（内积）的定义： 已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量||||cos(叫与的数量积，记作(，即有( = ||||cos(，（０≤θ≤π）并规定与任何向量的数量积为0 3、两个向量的数量积的性质： 设、为两个非零向量，是与同向的单位向量 ①( = ( =||cos( ②( (( = 0 ③ ( = ||2或 ④cos( = ⑤|(| ≤ |||| 4、向量数量积满足的运算率： ①； ②； ③ 向量数量积的坐标运算 1、已知两个向量，,则. 2、设，则. 3、平面内两点间的距离公式 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为 、，那么. 4、向量垂直的判定 两个非零向量，，则 . 5、两向量夹角的余弦 cos( = （）. 6、向量在轴上的正射影： 作图 定义：||cos(叫做向量在所在轴上的正射影 正射影也是一个数量，不是向量；当(为锐角时正射影为正值；当(为钝角时正射影为负值；当(为直角时正射影为0；当( = 0(时正射影为||；当( = 180(时正射影为(|| 类型一、平面向量数量积的运算： 例题1 已知下列命题: ①; ②; ③; ④ 其中正确命题序号是 ②、④ . 点评: 掌握平面向量数量积的含义,平面数量积的运算律不同于实数的运算律. 例题2 已知; (2) ;(3) 的夹角为,分别求. 解(1)当 时, =或=. (2)当时, =. (3)当的夹角为时, =. 练习：已知,求 解:= 点评: 熟练应用平面向量数量积的定义式求值,注意两个向量夹角的确定及分类完整. 类型二、夹角问题： 例题3 (2005年北京)若,且,则向量与向量的夹角为 ( ) A. B. C. D. 解:依题意 故选C 练习：① 已知,求向量与向量的夹角. ② 已知,夹角为,则 . 解: ① ,故夹角为. ②依题意得. 练习:已知是两个非零向量,同时满足,求的夹角. 法一 解:将两边平方得 , 则, 故的夹角.为. 法二: 数形结合 点评:注意两个向量夹角共起点,灵活应用两个向量夹角的两种求法. 类型三、向量模的问题 例题4 已知向量满足,且的夹角为,求. 解: ,且的夹角为 ; 练习 : ①(2005年湖北)已知向量,若不超过5,则的取值范围 ( ) A. B. C. D. ②(2006年福建) 已知的夹角为,, ,则 等于( ) A 5 B. 4 C. 3 D. 1 解: ① , 故选C ②, ,解得,故选B 点评:涉及向量模的问题一般利用,注意两边平方是常用的方法. 类型四、平面向量数量积的综合应用 例题5 (2006年全国卷)已知向量. 若 ; (2)求的最大值 . 解:(1)若,则,. (2) == ,的最大值为. 例题6已知向量,且满足, 求证 ; (2)将与的数量积表示为关于的函数; (3)求函数的最小值及取得最小值时向量与向量的夹角. 解:(1) , 故 (2) , 故. (3) ,此时当最小值为. ,量与向量的夹角 一、选择题 1．若a·c＝b·c(c≠0)，则(　　) A．a＝b B．a