北师大版高数必修四第9讲：两角和与差的正余弦及正切公式（教师版）.docVIP

两角和与差的正余弦、正切公式 及二倍角公式 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导. 2、灵活运用所学公式进行求值、化简、证明. 一、 两角和的余弦公式： 的推导： 复习：两点间的距离公式： 设， 推导过程： 设角、角为任意角 如左图在平面直角坐标系中 作, 则 作单位圆， 设角、角的终边分别与单位圆交于点B，点C 再作 由三角函数定义知： ， , ， ， 由已知：; 展开并整理得: 上述公式称为两角和的余弦公式 记为 解：那么， 所以cos（α－β） cos== 二、两角和与差的正弦公式： sin(α+β)=cos［-(α+β)］=cos［(-α)-β］=cos(-α)cosβ+sin(-α)sinβ=sinαcosβ+cosαsinβ. sin(α-β)=sin［α+(-β)］=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. 当cos(α+β)≠0时，tan(α+β)= 如果cosαcosβ≠0,即cosα≠0且cosβ≠0时,分子、分母同除以cosαcosβ得 tan(α+β)=，据角α、β的任意性，在上面的式子中，β用-β代之，则有 tan(α-β)=cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ, sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. tan(α+β)= tan(α-β)= 公式汇编： 1．两角和与差的三角函数 ； ； 。 2．二倍角公式 ； ； 。 3．三角函数式的化简 常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②三角公式的逆用；③切割化弦，异名化同名，异角化同角等。 （2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。 （1）降幂公式 ； ； 。 （2）辅助角公式 ， =公式的推导： 令，则，于是有： 其中由，和共同确定 类型一：正用公式 例1.已知:，求的值. 【思路点拨】直接利用两角差的余弦公式. 【解析】由已知可求得. 当在第一象限而在第二象限时， . 当在第一象限而在第三象限时， . 当在第二象限而在第二象限时， . 当在第二象限而在第三象限时， . 【点评】例1是对公式的正用．当三角函数值的符号无法确定时，注意分类讨论. 练习： 【变式1】已知，，则 . 【答案】. 【变式2】已知，则 . 【答案】 【变式3】已知和是方程的两个根，求的值. 【答案】 【解析】由韦达定理，得， ， ∴ . 【高清课堂： 例】某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数. (1) (2) (3) (4) (5) 例2．已知，,，求的值. 【思路点拨】注意到，将，看做一个整体来运用公式. 【解析】,， ， ， 【点评】1、给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，例2中应用了的变换 ，体现了灵活解决问题的能力，应着重体会，常见的变换技巧还有,,, 等. 2、已知某一个（或两个）角的三角函数值，求另一个相关角的三角函数值，基本的解题策略是从“角的关系式”入手切入或突破.角的关系主要有互余（或互补）关系，和差（为特殊角）关系，倍半关系等.对于比较复杂的问题，则需要两种关系的混合运用. 练习： 【变式1】已知，是第二象限角，且，求的值. 【答案】 【解析】由且是第二象限角，得， ∵， ∴. 【变式2】函数的最大值为（ ） A． B．　 C． D． 【答案】C； 【解析】∵， . 所以其最大值为2，故选C. 【变式3】已知 【答案】 【解析】角的关系式：（和差与倍半的综合关系） ∵，∴ ∴ ∴＝ 【变式4】已知，，，，求的值。 【答案】 【解析】∵ ， ∴， ∵ ， ∴。 ∴ 类型二：逆用公式 例3.求值： （1）； （2）； （3）； （4）. 【思路点拨】逆用两角和（差）正（余）弦公式，正切公式. 【解析】 （1）