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两角和与差的正余弦、正切公式
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
一、 两角和的余弦公式: 的推导:
复习:两点间的距离公式:
设,
推导过程:
设角、角为任意角
如左图在平面直角坐标系中
作,
则
作单位圆,
设角、角的终边分别与单位圆交于点B,点C
再作
由三角函数定义知:
, , , ,
由已知:;
展开并整理得:
上述公式称为两角和的余弦公式记为
二、两角和与差的正弦公式:
sin(α+β)=cos[-(α+β)]=
sin(α-β)=sin[α+(-β)]=
两角和与差的正切公式:
当cos(α+β)≠0时,tan(α+β)=
如果cosαcosβ≠0,即cosα≠0且cosβ≠0时,分子、分母同除以cosαcosβ得
tan(α+β)=,据角α、β的任意性,在上面的式子中,β用-β代之,则有
tan(α-β)=cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. tan(α+β)=
tan(α-β)= 公式汇编:
1.两角和与差的三角函数
;
;
。
2.二倍角公式
;
;
。
3.三角函数式的化简
常用方法:①直接应用公式进行降次、消项;②三角公式的逆用;③切割化弦,异名化同名,异角化同角等。
(2)化简要求:①能求出值的应求出值;②使三角函数种数尽量少;③使项数尽量少;④尽量使分母不含三角函数;⑤尽量使被开方数不含三角函数。
(1)降幂公式
; ; 。
(2)辅助角公式
,
=公式的推导:
令,则,于是有:
其中由,和共同确定
类型一:正用公式
例1.已知:,求的值.
举一反三:
【变式1】已知,,则 .
【变式2】已知,则 .
【变式3】已知和是方程的两个根,求的值.
【高清课堂: 例】某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
,,,求的值.
举一反三:
【变式1】已知,是第二象限角,且,求的值.
【变式2】函数的最大值为( )
A. B. C. D.
【变式3】已知
【变式4】已知,,,,求的值。
类型二:逆用公式
例3.求值:
(1);
(2);
(3);
(4).
举一反三:
【变式1】化简.
【变式2】已知,那么的值为( )
A. B. C. D.
例4. 求值:
(1);(2)
举一反三:
【变式】求值:
(1);(2).
类型三:变用公式
例5.求值:
;(2)
举一反三:
【变式1】求值:= .
【变式2】在中,,,试判断的形状.
类型四:三角函数式的化简与求值
例6. 化简:
(1);(2)
【点评】
①三角变换所涉及的公式实际上正是研究了各种组合的角(如和差角,倍半角等)的三角函数与每一单角的三角函数关系。因而具体运用时,注意对问题所涉及的角度及角度关系进行观察。
②三角变换中一般采用“降次”、“化弦”、“通分”的方法;在三角变换中经常用到降幂公式:,.
举一反三:
【变式1】化简:
(1);(2); (3)
【变式2】若,且,则___________.
【答案】由,,得,
.
例7.已知,,且,求的值.
举一反三:
【变式1】已知,为锐角,则的值是( )
A. B. C. 或 D.
【变式2】已知,,求。
一、选择题
1.cos75°cos15°-sin435°sin15°的值是( )
A.0 B.
C. D.-
2.在ABC中,若sinAsinBcosAcosB,则ABC一定为( )
A.等边三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
3.化简sin(x+y)sin(x-y)+cos(x+y)cos(x-y)的结果是( )
A.sin2x B.cos2y
C.-cos2x D.-cos2y
4.sin15°cos75°+cos15°sin105°等于( )
A.0 B.
C. D.1
5.sin-cos的值是( )
A.0 B.-
C. D.2
6.ABC中,cosA=,且cosB=
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