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北师大版高数必修四第9讲:两角和与差的正余弦及正切公式(学生版).docVIP

北师大版高数必修四第9讲:两角和与差的正余弦及正切公式(学生版).doc

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两角和与差的正余弦、正切公式 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 一、 两角和的余弦公式: 的推导: 复习:两点间的距离公式: 设, 推导过程: 设角、角为任意角 如左图在平面直角坐标系中 作, 则 作单位圆, 设角、角的终边分别与单位圆交于点B,点C 再作 由三角函数定义知: , , , , 由已知:; 展开并整理得: 上述公式称为两角和的余弦公式记为 二、两角和与差的正弦公式: sin(α+β)=cos[-(α+β)]= sin(α-β)=sin[α+(-β)]= 两角和与差的正切公式: 当cos(α+β)≠0时,tan(α+β)= 如果cosαcosβ≠0,即cosα≠0且cosβ≠0时,分子、分母同除以cosαcosβ得 tan(α+β)=,据角α、β的任意性,在上面的式子中,β用-β代之,则有 tan(α-β)=cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ, sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. tan(α+β)= tan(α-β)= 公式汇编: 1.两角和与差的三角函数 ; ; 。 2.二倍角公式 ; ; 。 3.三角函数式的化简 常用方法:①直接应用公式进行降次、消项;②三角公式的逆用;③切割化弦,异名化同名,异角化同角等。 (2)化简要求:①能求出值的应求出值;②使三角函数种数尽量少;③使项数尽量少;④尽量使分母不含三角函数;⑤尽量使被开方数不含三角函数。 (1)降幂公式 ; ; 。 (2)辅助角公式 , =公式的推导: 令,则,于是有: 其中由,和共同确定 类型一:正用公式 例1.已知:,求的值. 举一反三: 【变式1】已知,,则 . 【变式2】已知,则 . 【变式3】已知和是方程的两个根,求的值. 【高清课堂: 例】某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数. (1) (2) (3) (4) (5) ,,,求的值. 举一反三: 【变式1】已知,是第二象限角,且,求的值. 【变式2】函数的最大值为( ) A. B.  C. D. 【变式3】已知 【变式4】已知,,,,求的值。 类型二:逆用公式 例3.求值: (1); (2); (3); (4). 举一反三: 【变式1】化简. 【变式2】已知,那么的值为( ) A. B.  C. D. 例4. 求值: (1);(2) 举一反三: 【变式】求值: (1);(2). 类型三:变用公式 例5.求值: ;(2) 举一反三: 【变式1】求值:= . 【变式2】在中,,,试判断的形状. 类型四:三角函数式的化简与求值 例6. 化简: (1);(2) 【点评】 ①三角变换所涉及的公式实际上正是研究了各种组合的角(如和差角,倍半角等)的三角函数与每一单角的三角函数关系。因而具体运用时,注意对问题所涉及的角度及角度关系进行观察。 ②三角变换中一般采用“降次”、“化弦”、“通分”的方法;在三角变换中经常用到降幂公式:,. 举一反三: 【变式1】化简: (1);(2); (3) 【变式2】若,且,则___________. 【答案】由,,得, . 例7.已知,,且,求的值. 举一反三: 【变式1】已知,为锐角,则的值是( ) A. B. C. 或 D. 【变式2】已知,,求。 一、选择题 1.cos75°cos15°-sin435°sin15°的值是(  ) A.0 B. C. D.- 2.在ABC中,若sinAsinBcosAcosB,则ABC一定为(  ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 3.化简sin(x+y)sin(x-y)+cos(x+y)cos(x-y)的结果是(  ) A.sin2x B.cos2y C.-cos2x D.-cos2y 4.sin15°cos75°+cos15°sin105°等于(  ) A.0 B. C. D.1 5.sin-cos的值是(  ) A.0 B.- C. D.2 6.ABC中,cosA=,且cosB=

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