北师大版高数必修四第10讲：简单的三角恒等变换（教师版）.docVIP

简单的三角恒等变换 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、会利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换； 2、能根据问题的条件进行公式变形，体会在变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法. 一、降幂公式： 1、公式推导：试以表示． 解析：我们可以通过二倍角和来做此题．（二倍角公式中以(代2(，代(） 解：因为，可以得到； 因为，可以得到． 两式相除可以得到． 点评：⑴以上结果还可以表示为： [ww#w~.z%zst@ep^.com] 并称之为半角公式（不要求记忆），符号由角的象限决定. ⑵降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明. ⑶代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点. 二、积化和差公式： 1、公式推导:（１）； （２）． 证明：（１）因为和是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手． ；． 两式相加得； 即； （２）由（１）得①；设， 那么．[来源~:*zzstep.co@m%] 把的值代入①式中得． 三、本章公式梳理： 例1 已知. 证明一:∵, ∴cos4A·sin2B+sin4A·cos2B=sin2B·cosB. ∴cos4A(1-cos2B)+sin4A·cos2B=(1-cos2B)cos2B, 即cos4A-cos2B(cos4A-sin4A)=cos2B-cos4B. ∴cos4A-2cos2os2B+cos4B=0. ∴(cos2A-cos2B)2=0.∴cos2A=cos2B.∴sin2A=sin2B. ∴cos2B+sin2B=1. 证明二:令=sinα, 则cos2A=cosBcosα,sin2A=sinBsinα. 两式相加,得1=cosBcosα+sinBsinα,即cos(B-α)=1. ∴B-α=2kπ(k∈Z),即B=2kπ+α(k∈Z). ∴cosα=cosB,sinα=sinB. ∴cos2A=cosBcosα=cos2B,sin2A=sinBsinα=sin2B. ∴=cos2B+sin2B=1. 点评:要善于从不同的角度来观察问题,本例从角与函数的种类两方面观察,利用平方关系进行了合理消元. 在锐角三角形C中,C是它的三个内角,记S=,求证:S1. 证明:∵S=又A+B90°,∴90°A90°-B0°. ∴tanAtan(90°-B)=cotB0, ∴tanA·tanB1.∴S1. 证明=tan(+). 解：方法一：从右边入手，切化弦，得 tan(+)=,由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以cos+sin,得 方法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得 由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos,得 =tan(+). 点评：本题考查的是半角公式的灵活运用，以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法. 已知α,β∈(0,)且满足:3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求α+2β的值. 解法一:3sin2α+2sin2β=13sin2α=1-2sin2β,即3sin2α=cos2β,① 3sin2α-2sin2β=03sinαcosα=sin2β, ② ①2+②2:9sin4α+9sin2αcos2α=1,即9sin2α(sin2α+cos2α)=1, ∴sin2α=.∵α∈(0,),∴sinα=. ∴sin(α+2β)=sinαcos2β+cosαsin2β=sinα·3sin2α+cosα·3sinαcosα=3sinα(sin2α+cos2α)=3×=1. ∵α,β∈(0,),∴α+2β∈(0,).∴α+2β=. 解法二:3sin2α+2sin2β=1cos2β=1-2sin2β=3sin2α, 3sin2α-2sin2β=0sin2β=sin2α=3sinαcosα, ∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β =cosα·3sin2α-sinα·3sinαcosα=0. ∵α,β∈(0,),∴α+2β∈(0,).∴α+2β=. 解法三:由已知3sin2α=cos2β,sin2α=sin2β, 两式相除,得tanα=c