北师大版高数选修2-2第1讲：变化率与导数（学生版）.docVIP

变化率与导数 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 理解导数的几何意义； 一、变化率问题： 知识导入： 问题1 气球膨胀率 将班内同学平均分成4组，每组发一只气球，各有一位同学负责将气球吹起，其他同学观察气球在吹起过程中的变化，并做好准备回答以下问题： （1）气球在吹起过程中，随着吹入气体的增加，它的膨胀速度有何变化？ （2）你认为膨胀速度与哪些量有关系？ （3）球的体积公式是什么？有哪些基本量？ （4）结合球的体积公式，试用两个变量之间的关系来表述气球的膨胀率问题？ 总结：可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是 如果将半径r表示为体积V的函数,那么 分析: ， 当V从0增加到1时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 当V从1增加到2时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? 思考计算：和的平均速度 在这段时间里，； 在这段时间里， 探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？ ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，， 所以， 虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． 平均变化率： 1．上述问题中的变化率可用式子__________________表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率 2．若设, (这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+代替x2,同样) 3.则平均变化率为____________________________________ 思考：观察函数f(x)的图象 平均变化率表示什么? 直线AB的斜率 导数的概念： 1、瞬时变化率：从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是: 我们称它为函数在出的导数，记作或，即 ___________________ 说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率 （2），当时，，所以 导数的几何意义： 平均变化率与割线的斜率、瞬时变化率与切线的斜率： （一）曲线的切线及切线的斜率： 如图3.1-2，当沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势是什么？ 我们发现,当点沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线. 问题：⑴割线的斜率与切线PT的斜率有什么关系？ ⑵切线PT的斜率为多少？ 容易知道，割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点P时，无限趋近于切线PT的斜率，即 说明： （1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在处的导数. （2）曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关; 2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线; 3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. 2、导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率， 即 说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P点的坐标; ②求出函数在点处的变化率 ，得到曲线在点的切线的斜率； ③利用点斜式求切线方程. 类型一：求函数的平均变化率 例1、求在到之间的平均变化率，并求，时平均变化率的值. 举一反三： 【变式1】求函数y=5x2+6在区间[2，2+]内的平均变化率。 【变式2】已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率： （1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001]. 【变式3】自由落体运动的运动方程为，计算t