北师大版高数选修2-2第3讲：函数的单调性与导数（教师版）.docVIP

导数与函数的单调性、极值 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 一、函数的单调性与导数： 1． 函数的导数与函数的单调性的关系： 我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数．从函数的图像 可以看到： y=f(x)=x2－4x+3 切线的斜率 f′(x) (2，+∞) 增函数 正 ＞0 (－∞，2) 减函数 负 ＜0 在区间（2，）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即0时，函数y=f(x) 在区间（2，）内为增函数；在区间（，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即0时，函数y=f(x) 在区间（，2）内为减函数 定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数 2．利用导数确定函数的单调性的步骤： (1) 确定函数f(x)的定义域； (2) 求出函数的导数； (3) 解不等式f ((x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f ((x)＜0，得函数的单调递减区间． 类型一：函数的单调性与导数： 例1确定函数f(x)=x2－2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。 解：f′(x)=(x2－2x+4)′=2x－2． 令2x－2＞0，解得x＞1． ∴当x∈(1，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数． 令2x－2＜0，解得x＜1． ∴当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数． 例2确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数 解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x 令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0 ∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数． 当x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数． 令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2． ∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数． 例3证明函数f(x)=在(0，+∞)上是减函数． 证法一：（用以前学的方法证） 证法二：（用导数方法证） ∵f′(x)=( )′=(－1)·x－2=－，x＞0，∴x2＞0，∴－＜0． ∴f′(x)＜0， ∴f(x)= 在(0，+∞)上是减函数。 点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些．如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性。 例4求函数y=x2(1－x)3的单调区间． 解：y′=［x2(1－x)3］′=2x(1－x)3+x2·3(1－x)2·(－1) =x(1－x)2［2(1－x)－3x］=x(1－x)2·(2－5x) 令x(1－x)2(2－5x)＞0，解得0＜x＜． ∴y=x2(1－x)3的单调增区间是(0，) 令x(1－x)2(2－5x)＜0，解得x＜0或x＞且x≠1． ∵为拐点，∴y=x2(1－x)3的单调减区间是(－∞，0)，(，+∞) 例5当x＞0时，证明不等式：1+2x＜e2x． 分析：假设令f(x)=e2x－1－2x．∵f(0)=e0－1－0=0, 如果能够证明f(x)在(0，+∞)上是增函数，那么f(x)＞0，则不等式就可以证明。 证明：令f(x)=e2x－1－2x． ∴f′(x)=2e2x－2=2(e2x－1) ∵x＞0，∴e2x＞e0=1，∴2(e2x－1)＞0, 即f′(x)＞0 ∴f(x)=e2x－1－2x在(0，+∞)上是增函数。 ∵f(0)=e0－1－0=0．∴当x＞0时，f(x)＞f(0)=0，即e2x－1－2x＞0． ∴1+2x＜e2x 点评：所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值为0。 例6已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间。 解：y′=(x+)′ =1－1·x－2= 令＞0． 解得x＞1或x＜－1． ∴y=x+的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞)． 令＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1． ∴y=x+的单调减区间是(－1，0)和(0，1)． 四、课堂练习 1．确定下列函数的单调区间 (1)y=x3－9x2+24x (2)y=x－x3 (1)解：y′=(x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24=3(x－2)(x－4) 令3(x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2． ∴y=