北师大版高数选修2-2第3讲：函数的单调性与导数（学生版）.docVIP

导数与函数的单调性 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 一、函数的单调性与导数： 1． 函数的导数与函数的单调性的关系： 我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数．从函数的图像 可以看到： 在区间（2，）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即0时，函数y=f(x) 在区间（2，）内为增函数；在区间（，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即0时，函数y=f(x) 在区间（，2）内为减函数 y=f(x)=x2－4x+3 切线的斜率 f′(x) (2，+∞) 增函数 正 ＞0 (－∞，2) 减函数 负 ＜0 定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数 2．利用导数确定函数的单调性的步骤： (1) 确定函数f(x)的定义域； (2) 求出函数的导数； (3) 解不等式f ((x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f ((x)＜0，得函数的单调递减区间． 类型一：函数的单调性与导数： 例1确定函数f(x)=x2－2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。 例2确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数 例3证明函数f(x)=在(0，+∞)上是减函数． 例4求函数y=x2(1－x)3的单调区间． 练习： 1．确定下列函数的单调区间 (1)y=x3－9x2+24x (2)y=x－x3 例5当x＞0时，证明不等式：1+2x＜e2x． 例6已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间。 练习： 1．求下列函数的单调区间(1)y= (2)y= (3)y=+x 1.函数f(x)=在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a的取值范围为（　　） A.0a B.a-1或a C.a D.a-2 2．已知函数f(x)＝x2＋2x＋alnx，若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数a的取值范围是(　　) A．a≥0B．a－4C．a≥0或a≤－4D．a0或a－4 ．函数f(x)＝x＋的单调区间为________． 函数的单调增区间为 ，单调减区间为___________________ 5．确定下列函数的单调区间(1)y=x3－9x2+24x (2)y=x－x3．函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为__________． ．已知y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，则b的范围为________． ，试讨论出此函数的单调区间. 10．已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为．（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间． 11.已知函数f(x)=x3-x2+bx+c.(1)若f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，求b的取值范围;12.已知函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2，+∞）上是增函数，试确定实数a的取值范围.在区间上是增函数，求实数的取值范围． 14.已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（－1，）处的切线方程，（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间。 15．已知函数f(x)＝，求导函数f ′(x)，并确定f(x)的单调区间． _______________________________ _________________________________________________________________________________ 基础巩固 一、选择题 1．函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间为(　　) A．(－∞，－1]和[0,1]B．[－1,0]和[1，＋∞) C．[－1,1]D．(－∞，－1]和[1，＋∞) 2．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则(　　) A．a≤0 B．a1 C．a2 D．a≤ 3．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x0时，f ′(x)0，g′(x) 0，则x0时(　　) A．f ′(x)0，g′(x)0 B．f ′(x)0，g′(x)0 C．f ′(x)0，g′(x)0 D．f ′(x)0，g′(x)0 4．(2013·武汉市实验中学高二