北师大版高数选修2-2第4讲：函数的极值与导数（教师版）.docVIP

导数与函数的极值 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 2、理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值 一、导数与函数的极值： 1．观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数=-4.9t2+6.5t+10的图象，回答以下问题 （1）当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数在t=a处的导数是多少呢？ （2）在点t=a附近的图象有什么特点？ （3）点t=a附近的导数符号有什么变化规律？ 共同归纳: 函数h(t)在a点处h/(a)=0,在t=a的附近,当t＜a时,函数单调递增, ＞0;当t＞a时,函数单调递减, ＜0,即当t在a的附近从小到大经过a时, 先正后负,且连续变化,于是h/(a)=0. 3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？ 二、探索研讨 1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题： （1）函数y=f(x)在a.b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系? （2） 函数y=f(x)在a.b.点的导数值是多少? （3）在a.b点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢? 2、极值的定义: 我们把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值； 点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极大值。 极大值点与极小值点称为极值点, 极大值与极小值称为极值. 类型一：函数的单调性与导数： 例1、求函数的极值 解:∵∴=x2-4=(x-2)(x+2) 令=0,解得x=2,或x=-2. 下面分两种情况讨论: 当＞0,即x＞2,或x＜-2时; 当＜0,即-2＜x＜2时. 当x变化时, ,f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞) + 0 _ 0 + f(x) 单调递增 单调递减 单调递增 因此,当x=-2时,f(x)有极大值,且极大值为f(-2)= ;当x=2时,f(x)有极 小值,且极小值为f(2)= 函数的图象如: 归纳：求函数y=f(x)极值的方法是: 1求,解方程=0,当=0时: 如果在x0附近的左边＞0,右边＜0,那么f(x0)是极大值. 如果在x0附近的左边＜0,右边＞0,那么f(x0)是极小值 练习： 1．求下列函数的极值. (1)y=x2－7x+6 (2)y=x3－27x (1)解：y′=(x2－7x+6)′=2x－7 令y′=0，解得x=. 当x变化时，y′，y的变化情况如下表. － 0 + ↘ 极小值 ↗ ∴当x=时，y有极小值，且y极小值=－. (2)解：y′=(x3－27x)′=3x2－27=3(x+3)(x－3) 令y′=0，解得x1=－3，x2=3. 当x变化时，y′，y的变化情况如下表. -3 (-3,3) 3 + 0 － 0 + ↗ 极大值54 ↘ 极小值-54 ↗ ∴当x=－3时，y有极大值，且y极大值=54. 当x=3时，y有极小值，且y极小值=－54 考点一 求含字母参数的函数的极值 考例1.（06安徽卷）设函数，已知是奇函数。 （Ⅰ）求、的值。 （Ⅱ）求的单调区间与极值。 思路分析：先求出,再利用奇函数定义即可求出b,c的值，再利用导数这一工具，可求出函数的单调区间及极值 解析：（Ⅰ）∵，∴。从而＝是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而，令=0，解得，由，由此可知， 函数的单调递增区间是和；单调递减区间是； 进而得在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。 锦囊妙计：熟练掌握利用导数这一有效工具求函数的单调区间、极值、最值，力求解答思路顺畅，思维严谨，书写规范。 举一反三：(2005年全国高考题)设a为实数,函数 (Ⅰ)求的极值. (Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线轴仅有一个交点. 解：(I)=3－2－1 若=0，则==－，=1 当变化时，，变化情况如下表： (－∞，－) － (－，1) 1 (1，+∞) + 0 － 0 + 极大值 极小值 ∴的极大值是，极小值是 (II)函数 由此可知，取足够大的正数时，有0，取足够小的负数时有0，所以曲线=与轴至少有一个交点 结合的单调性可知： 当的极大值0，即时，它的