北师大版高数选修2-2第5讲：定积分的概念与微积分基本定理（教师版）.docVIP

定积分的概念与微积分基本定理 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 掌握定积分的计算，了解定积分的物理意义，会利用定积分求平面区域围成的面积. 一、定积分的概念： 从前面求曲边图形面积以及求变速直线运动路程的过程发现，它们都可以通过“分割、近似代替、求和、取极限得到解决，且都归结为求一个特定形式和的极限， 事实上，许多问题都可以归结为求这种特定形式和的极限 1定积分的概念 一般地，设函数在区间上连续，用分点 将区间等分成个小区间，在每个小区间上取一点，作和式： 当）时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分。记为： 即= 其中函数叫做 ，叫做 变量，区间为 区间，积分 ，积分 。 说明：（1）定积分是一个常数 （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：等分区间；②近似代替：取点；③求和：；④取极限： （3）曲边图形面积：；变速运动路程 2定积分的几何意义 从几何上看，如果在区间[a,b]上的函数连续且恒有。那么定积分表示由直线（），和曲线所围成的曲边梯形的面积。 3定积分的性质 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1 性质2 （其中k是不为0的常数） （定积分的线性性质） 性质3 （定积分的线性性质） 性质4 （定积分对积分区间的可加性） 说明：①推广： ②推广: ③性质解释： 微积分基本定理： 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（）， 则物体在时间间隔内经过的路程可用速度函数表示为。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S（t）在上的增量来表达，即 = 而。 对于一般函数，设，是否也有 若上式成立，我们就找到了用的原函数（即满足）的数值差来计算在上的定积分的方法。 注：1：定理 如果函数是上的连续函数的任意一个原函数，则 证明：因为=与都是的原函数，故 -=C（） 其中C为某一常数。 令得-=C，且==0 即有C=，故=+ =-= 令，有 类型一：定积分的概念： 例1计算下列定积分 1． 2.； 3.。 解：1. 2.因为，所以。 3. 因为，所以 。 例2．计算由两条抛物线和所围成的图形的面积. 【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。 解：，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=，所以= 【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： 1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。 练习： 1.【2014江西高考理第8题】若则（　　） A. B. C. D.1 答案:B 2.【2014陕西高考理第3题】定积分的值为（　　） 答案：C 3．若则的大小关系为 B．C．D． 答案B 4．已知与是定义在上的连续函数，如果与仅当时的函数值为0，且，那么下列情形不可能出现的是（　　） A．0是的极大值，也是的极大值 B．0是的极小值，也是的极小值 C．0是的极大值，但不是的极值 D．0是的极小值，但不是的极值 答案：C 5：已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 答案：C 二、定积分求面积 1．【2014山东高考理第6题】直线在第一象限内围成的封闭图形的面积为（　　） A. B. C. D.4 答案直线过抛物线的焦点且与轴垂直,则与所围成的图形的面积等于（　） A． B．2 C． DCom] 答案C 3．已知函数的图象是折线段，其中、、，函数（）的图象与轴围成的图形的面积为_________． 答案： 一、选择题（共4小题，每题10分，共40分） 1. 下列值等于1的是（） A B. C. D. 【答案】C 【解析】理解定积分符号表示的几何意义，我们结合图可以得。 将和式的极限表示成定积分（） A B. C. D. 【答案】B 【解析】由求和式极限，我们知道求和可以表示为 ，故可以知道被积函数，积分区间为[0，1] 求由围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为A.［0，］ B［0，2］ C［1，2］