北师大版高数选修2-2第6讲：合情推理与演绎推理（教师版）.docVIP

合情推理与演绎推理 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.推理 根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断，这种思维方式叫做推理.推理一般分为合情推理与演绎推理两类. 2.合情推理 归纳推理 类比推理定义 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理 特点 由部分到整体、由个别到一般的推理 由特殊到特殊的推理 一般步骤 通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题(猜想)(1)找出两类事物之间相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想) 3.演绎推理 (1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理； (2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理； (3)模式：三段论.“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： “三段论”的结构 ①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断.“三段论”的表示 ①大前提——M是P.②小前提——S是M.③结论——S是P. 题型一　归纳推理 例1　设f(x)＝，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明. 思维启迪　解题的关键是由f(x)计算各式，利用归纳推理得出结论并证明. 解　f(0)＋f(1)＝＋＝＋＝＋＝， 同理可得：f(－1)＋f(2)＝， f(－2)＋f(3)＝，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1. 归纳猜想得：当x1＋x2＝1时，均为f(x1)＋f(x2)＝. 证明：设x1＋x2＝1， ∵f(x1)＋f(x2)＝＋ ＝＝ ＝＝＝. 思维升华　(1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围. (2)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的. (3)归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用. 　(1)观察下列等式 1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 … 照此规律，第五个等式应为________________________. (2)已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，经计算得f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，则有______. 答案　(1)5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81 (2)f(2n)(n≥2，n∈N*) 解析　(1)由于1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81. (2)由题意得f(22)，f(23)，f(24)，f(25)， 所以当n≥2时，有f(2n). 故填f(2n)(n≥2，n∈N*). 题型二　类比推理 例2　已知数列{an}为等差数列，若am＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N*)，则am＋n＝.类比等差数列{an}的上述结论，对于等比数列{bn}(bn0，n∈N*)，若bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N*)，则可以得到bm＋n＝________. 思维启迪　等差数列{an}和等比数列{bn}类比时，等差数列的公差对应等比数列的公比，等差数列的加减法运算对应等比数列的乘除法运算，等差数列的乘除法运算对应等比数列中的乘方开方运算. 答案　 解析　设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q. 因为an＝a1＋(n－1)d，bn＝b1qn－1，am＋n＝， 所以类比得bm＋n＝ 思维升华　(1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键. (2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等. (3)在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面