北师大版高数选修2-2第7讲：直接证明与间接证明（教师版）.docVIP

直接证明与间接证明 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 了解直接证明的一种基本方法──综合法、分析法； 了解间接证明的一种基本方法──反证法； (3)了解综合法、分析法、反证法的思考过程与特点,会用综合法、分析法、反证法证明数学问题. 类型一、直接证明： 一. 综合法 1.定义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过一系列的推理论 证，最后推导出所要证明的结论成立. 2.思维特点：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出 结论的一种证明方法 3.框图表示：(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论) 二.分析法 1.定义：一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判断一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明方法叫做分析法. 2. 思维特点：执果索因步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种 方法 3.框图表示：(用Q表示要证明的结论,Pn表示充分条件) 4.分析法的书写格式： 类型二、反证法： 反证法：假设命题结论不成立（即命题结论的反面成立），经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。 （2）反证法的一般步骤： a、反设：假设命题结论不成立（即假设结论的反面成立）； b、归缪：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾； c、下结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立。 （3）应用反证法的情形： ①直接证明困难; ②需分成很多类进行讨论． ③结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” ---类命题； ④结论为 “唯一”类命题； （4）关键在于归缪矛盾： a、与已知条件矛盾；b、与公理、定理、定义矛盾；c、自相矛盾。 题型一　 例1 已知a,b,c是不全相等的正数， 求证： 证明： 以上三式相加，且注意到a,b,c不全相等， 故 总结：本题主要综合运用基本不等式以及对数的运算性质来证明. 例2 在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a, b，c,且A,B,C成等差数列, a, b，c 成等比数列,求证△ABC为等边三角形. 证明：由 A, B, C成等差数列，有 2B=A + C ． 因为A,B,C为△ABC的内角，所以A + B + C=． 由①② ，得B=. 由a, b，c成等比数列，有. 由余弦定理及③，可得 . 再由④，得. , 因此. 从而A=C. 由②③⑤，得 A=B=C=. 所以△ABC为等边三角形． 总结:解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来． 练习： 1、在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为,且A,B,C成等差数列, 成等比数列,求证△ABC为等边三角形. 分析：将 A , B , C 成等差数列，转化为符号语言就是2B =A + C; A , B , C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A + B + C =； a , b，c成等比数列，转化为符号语言就是．此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求．于是，可以用余弦定理为工具进行证明． 证明：由 A, B, C成等差数列，有 2B=A + C ． ① 因为A,B,C为△ABC的内角，所以A + B + C=． ⑧ 由①② ，得B=. 由a, b，c成等比数列，有. 由余弦定理及③，可得 . 再由④，得. , 因此. 从而A=C. 由②③⑤，得 A=B=C=. 所以△ABC为等边三角形． 解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来． 2、已知求证 本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于对称，不妨设 ，从而原不等式得证。 2）商值比较法：设 故原不等式得证。 注：比较法是证明