北师大版高数选修2-2第8讲：数学归纳法（教师版）.docVIP

数学归纳法 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、数学归纳法的原理及应用. 数学归纳法的思想实质及在归纳推理中发现具体问题的递推关系. n的命题的一种方法，在高等数学中有着重要的用途，因而成为高考的热点之一。近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳法去证明现代的结论，而且加强了对于不完全归纳法应用的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，因此，初步形成“观察—－归纳—－猜想—－证明”的思维模式，就显得特别重要。 ??? 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： ??? （1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n = n 0时命题成立； （2）（归纳递推）假设n=k（）时命题成立，证明当时命题也成立。 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。 数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。 题型一、用数学归纳法证明恒等式 例1、例1数学归纳法证明13＋23＋33＋…＋n3= n2（n＋1）2 证明：① 当n=1时，左边=13=1，右边=， 故等式成立． ② 假设n=k（，且k≥1）时等式成立。 即13＋23＋33＋…＋k 3＋=k2(k+1)2成立． 则当n=k＋1时，13＋23＋33＋…＋k 3＋(k+1)3 = =． 即当n=k＋1 时等式也成立． 综合①，②，对一切，等式都成立． 题型二、用数学归纳法证明不等式 例2、归纳法证明…＞（n＞）n=2时，左边=＞=右边，不等式成立. ② 假设n=k（， k≥2）时不等式成立， 即…＞成立． 则当 n=k＋1时， … =（…）＋（－）＋（－）＋（－）=即当n=k＋1时不等式也成立． 综合①，②，对一切大于1的自然数n，不等式都成立． 题型三、用数学归纳法证明几何问题 例4．平面内有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点,求证:这n个圆把平面分成个部分. 题型四、用数学归纳法证明整除问题 例4、 用数学归纳法证明32n＋2－8 n9能被64整除． 证明：① 当n=1时，32＋2－8×1－9=64 显然能被64整除，命题成立． ② 假设n=k（ k≥1，）时命题成立． 即32k＋2－8k－9能被64整除．则当n=k＋1时， 32（k＋1）＋2－8（k＋1）－9=9·32k＋2－8 k－8－9 =9（32k＋2－8 k－9）＋64 k＋64． ∵ 32k＋2－8 k－9与64均能被64整除， ∴ 32（k＋1）＋2－8（ k＋1）－9能被64整除． 即当n=k＋1时命题也成立． 综合①，②，对一切，32n＋2－8n－9能被64整除． 题型五 归纳、猜想、证明 例8：是否存在常数a，b，c使等式 对一切自然数n都成立，并证明你的结论。 分析：可先把条件式对分别列出方程，试求a，b，c值，再用数学归纳法证明。 解：假设存在a，b，c使题设等式成立，那么令得到下面方程组： 解得 下面用数学归纳法证明当时，题设等式成立，即有： ① （1）当时，①式成立 （2）假设成立，即： 那么当时 故当时①式成立。 综上，可知当时，等式成立。 一、选择题 1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋n(n∈N*，n1)时，第一步应验证不等式(　　) A．1＋2B．1＋＋＜2 C．1＋＋＜3D．1＋＋＋＜3 [答案]　B [解析]　∵n∈N*，n＞1，∴n取第一个自然数为2，左端分母最大的项为＝，故选B. 2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1时，左边所得的项为(　　) A．1B．1＋a＋a2 C．1＋a D．1＋a＋a2＋a3 [答案]　B [解析]　因为当n＝1时，an＋1＝a2，所以此时式子左边＝1＋a＋a2.故应选B. 3．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　) A.B. C.＋D.－ [答案]　D [解析]　f(n＋1)－