北师大版高数选修2-2第8讲：数学归纳法（学生版）.docVIP

数学归纳法 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、数学归纳法的原理及应用. 数学归纳法的思想实质及在归纳推理中发现具体问题的递推关系. n的命题的一种方法，在高等数学中有着重要的用途，因而成为高考的热点之一。近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳法去证明现代的结论，而且加强了对于不完全归纳法应用的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，因此，初步形成“观察—－归纳—－猜想—－证明”的思维模式，就显得特别重要。 ??? 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： ??? （1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n = n 0时命题成立； ??? （2）（归纳递推）假设n=k（）时命题成立，证明当时命题也成立。 ??? 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。 ??? 数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。 题型一、用数学归纳法证明恒等式 例1、例1数学归纳法证明13＋23＋33＋…＋n3= n2（n＋1）2 题型二、用数学归纳法证明不等式 例2、归纳法证明…＞（n＞）n个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点,求证:这n个圆把平面分成个部分. 题型四、用数学归纳法证明整除问题 例4、 用数学归纳法证明32n＋2－8 n9能被64整除． 题型五 归纳、猜想、证明 例8：是否存在常数a，b，c使等式 对一切自然数n都成立，并证明你的结论。 一、选择题 1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋n(n∈N*，n1)时，第一步应验证不等式(　　) A．1＋2B．1＋＋＜2 C．1＋＋＜3 D．1＋＋＋＜3 2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1时，左边所得的项为(　　) A．1B．1＋a＋a2 C．1＋a D．1＋a＋a2＋a3 3．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　) A.B. C.＋D.－ 4．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得(　　) A．当n＝6时该命题不成立 B．当n＝6时该命题成立 C．当n＝4时该命题不成立 D．当n＝4时该命题成立 5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是(　　) A．假设n＝k(k∈N*)，证明n＝k＋1时命题也成立 B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1时命题也成立 C．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2时命题也成立 D．假设n＝2k＋1(k∈N)，证明n＝k＋1时命题也成立 6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为(　　) A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n C．f(n)＋n－1D．f(n)＋n－2 7．用数学归纳法证明“对一切n∈N*，都有2nn2－2”这一命题，证明过程中应验证(　　) A．n＝1时命题成立 B．n＝1，n＝2时命题成立 C．n＝3时命题成立 D．n＝1，n＝2，n＝3时命题成立 8．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为(　　) A．30B．26 C．36D．6 9．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想an＝(　　) A.B. C. D. 10．对于不等式≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下： (1)当n＝1时，≤1＋1，不等式成立． (2)假设n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即k＋1，则n＝k＋1时，＝＝＝(k＋1)＋1， ∴当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法(　　) A．过程全都正确 B．n＝1验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 二、填空题 11．用数学归纳法证