北师大版高数选修2-2第10讲：数系的扩充与复数的概念（教师版）.docxVIP

数系的扩充与复数的概念____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i2.理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)理解并掌握复数相等的有关概念3．理解复平面、实轴、虚轴等概念．4．理解并掌握复数的几何意义，并能简单应用．5．理解并会求复数的模，了解复数的模与实数绝对值之间的区别和联系．一．复数的概念及代数表示(1)复数的定义：把集合C＝{a＋bi|a，b∈R|}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数．其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1．(2)复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的实部与虚部．(3)复数集全体复数所构成的集合叫做复数集．记作C＝{a＋bi|a，b∈R}．二．两个复数相等的充要条件(1)在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个复数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d．(2)当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小．三．复数的分类(1)复数a＋bi(a，b∈R)(2)集合表示：四．复平面、实轴、虚轴点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0),它所确定的复数是z＝0＋0i＝0表示是实数．故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．五．复数的几何意义六．复数的模向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|且|z|＝．类型一.复数的概念例1：请说出复数的实部和虚部，有没有纯虚数？解析：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数．其中i叫做虚数单位，满足i2＝-1．答案：它们都是虚数，它们的实部分别是2，－3，0，－;虚部分别是3，，－，－;－i是纯虚数.练习1：复数－2i+3.14的实部和虚部是什么？答案：实部是3.14，虚部是－2.练习2：实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m－1)i是:(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解析：因为m∈R，所以m+1，m－1都是实数，由复数z=a+bi是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的值.答案：(1)当m－1=0，即m=1时，复数z是实数；[来(2)当m－1≠0，即m≠1时，复数z是虚数；(3)当m+1=0，且m－1≠0时，即m=－1时，复数z是纯虚数.类型二.复数相等的条件例2：已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x，y∈R，求x与y.解析：两个复数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d．答案：根据复数相等的定义，得方程组，所以x=，y=4练习1：满足方程x2－2x－3+(9y2－6y+1)i=0的实数对(x，y)表示的点的个数是______.解析：由题意知∴∴点对有(3，)，(－1，)共有2个.答案：2类型三.复数的分类例3：设复数z=log2(m2－3m－3)+ilog2(3－m)(m∈R)，如果z是纯虚数，求m的值.解析：由题意知∴∴∴，∴m=－1.答案：m=－1练习1：已知m∈R，复数z=+(m2+2m－3)i，当m为何值时，(1)z∈R; (2)z是虚数；(3)z是纯虚数；(4)z=+4i.答案：(1)m须满足解之得：m=－3.(2)m须满足m2+2m－3≠0且m－1≠0，解之得：m≠1且m≠－3.(3)m须满足解之得：m=0或m=－2.(4)m须满足解之得：m∈类型四.复数的几何意义例4：复数3－5i、1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为________________．解析：复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面内对应的点分别为(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)，所以由三点共线的条件可得＝.解得a＝5.答案：a＝5练习1：实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i是：(1)对应点在x轴上方；(2)对应点在直线x＋y＋5＝0上．答案：(1)由m2－2m－150，得知m－3或m5时，z的对应点在x轴上方；(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋5＝0，得知：m＝或