北师大版高数选修2第2讲：方程与曲线（教师版）.docxVIP

曲线与方程____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1　了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系；2　了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性质；3　能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程．【重点知识梳理】1．曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上点的坐标与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解满足如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系——建立适当的坐标系．(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)．(3)列式——列出动点P所满足的关系式．(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简．(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．3．两曲线的交点(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．类型一　曲线与方程的关系例１：如果曲线C上点的坐标满足方程F(x,y)=0,则有(　　)A.方程F(x,y)=0表示的曲线是CB.曲线C的方程是F(x,y)=0C.点集{P|P∈C}?{(x,y)|F(x,y)=0}D.点集{P|P∈C}{(x,y)|F(x,y)=0}【解析】选C.A,B错,因为以方程F(x,y)=0的解为坐标的点不一定在曲线C上,若以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上,则点集{P|P∈C}={(x,y)|F(x,y)=0},故D错,选C.【答案】C.练习１：f(x0,y0)=0是点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的　(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.由曲线与方程的概念可知,若点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上,则必有f(x0,y0)=0;又当f(x0,y0)=0时,点P(x0,y0)也一定在方程f(x,y)=0对应的曲线上,故选C.【答案】C.练习2.(2014?石家庄高二检测)方程x2+y2=1(xy0)的曲线形状是(　　)Ａ.B.C.D.【解析】选C.方程x2+y2=1(xy0)表示以原点为圆心,1为半径的圆在第二、四象限的部分。【答案】C.类型二　直接法求轨迹方程例2：已知动圆过定点A(4，0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.试求动圆圆心的轨迹C的方程．【解析】如图设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，|O1A|＝|O1M|，当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点．∴|O1M|＝，又|O1A|＝，∴＝，化简得y2＝8x(x≠0)．当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y2＝8x，∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.【答案】动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.练习1：在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)(a＞b＞0)为动点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．（1）求椭圆的离心率e；（2）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足·＝－2，求点M的轨迹方程．【解析】（1）解：设，由题意，可得，即，整理得，得（舍）或，所以；（2）解：由（Ⅰ）知，可得椭圆方程为，直线PF2方程为，A，B两点的坐标满足方程组，消去y并整理，得，解得，得方程组的解，不妨设，设点M的坐标为(x，y)，则，由，得，于是，，由，即，化简得，将代入，得，所以x＞0，因此，点M的轨迹方程是。【答案】(1)(2)练习2：平面直角坐标系xOy中，直线x－y＋1＝0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为，求圆O的方程。【解析】因为O点到直线x－y＋1＝0的距离为，所以圆O的半径为＝，所以圆O的方程为x2＋y2＝2.【答案】因为O点到直线x－y＋1＝0的距离为，所以圆O的半径为＝，所以圆O的方程为x2＋y2＝2.类型三　定义法求轨迹方程例3：已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求