北师大版高数选修2第3讲：椭圆的标准方程与性质（教师版）.docxVIP

椭圆的标准方程与性质____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1　了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2　掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.1．椭圆的定义在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程＋＝1(ab0)＋＝1(ab0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝∈(0，1)a，b，c的关系c2＝a2－b2类型一　椭圆的定义及其应用例1：如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是(　　)A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆【解析】根据CD是线段MF的垂直平分线.可推断出,进而可以知道结果为定值,进而根据椭圆的定义推断出点P的轨迹【答案】根据题意知,CD是线段MF的垂直平分线. ,(定值),又显然,根据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆.所以A选项是正确的练习１：已知F1，F2是椭圆C：(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且1⊥，若△PF1F2的面积为9，则b＝________．【解析】由题意的面积∴故答案为：【答案】3练习2：已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为(　)A．6B．5C．4D．3【解析】由椭圆方程知，椭圆的长轴，则周长为16，故第三边长为6.所以正确答案为A.【答案】A类型二　求椭圆的标准方程例2：在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为________．【解析】设椭圆方程为＋＝1(ab0)，由e＝，知＝，故＝.由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，故a＝4.∴b2＝8，∴椭圆C的方程为＋＝1.【答案】＋＝1练习1：设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0b1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．【解析】x2+3y2/2=1【答案】x2+3y2/2=1类型三　椭圆的几何性质例3：如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为________．【解析】直线A1B2的方程为＋＝1，直线B1F的方程为＋＝1，二者联立，得T(，)，则M(，)在椭圆＋＝1(ab0)上，∴，c2＋10ac－3a2＝0，e2＋10e－3＝0，解得e＝2－5.【答案】2－5练习1：已知A、B是椭圆＋＝1(a＞b＞0)和双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的公共顶点．P是双曲线上的动点，M是椭圆上的动点(P、M都异于A、B)，且满足＋＝λ(＋)，其中λ∈R，设直线AP、BP、AM、BM的斜率分别记为k1、k2、k3、k4，k1＋k2＝5，则k3＋k4＝________．【解析】设出点P、M的坐标，代入双曲线和椭圆的方程，再利用已知满足及其斜率的计算公式即可求出．【答案】∵A，B是椭圆和双曲线的公共顶点，∴（不妨设）A（-a，0），B（a，0）．设P（x1，y1），M（x2，y2），∵，其中λ∈R，∴（x1+a，y1）+（x1-a，y1）=λ[（x2+a，y2）+（x2-a，y2）]，化为x1y2=x2y1．∵P、M都异于A、B，∴y1≠0，y2≠0．∴．由k1+k2==5，化为，（*）又∵，∴，代入（*）化为