北师大版高数选修2第4讲：双曲线的标准方程与性质（教师版）.docxVIP

双曲线的标准方程与性质____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.　了解双曲线的定义、几何图形和标准方程及简单性质．2.　了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用．3.　理解数形结合的思想．1．双曲线的定义平面内动点与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|大于零)，则点的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a0，c0：(1)若ac时，则集合P为双曲线；(2)若a＝c时，则集合P为两条射线；(3)若ac时，则集合P为空集．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝1(a0，b0)－＝1(a0，b0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)类型一　双曲线的定义及应用例1：(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．【解析】利用动圆M同时与圆及圆外切,可得的轨迹为到定点,距离差为常数2的点的集合,即双曲线的左支,从而可得方程.【答案】动圆的圆心为,动圆的圆心为动圆M同时与圆及圆外切,动圆M的半径,即的轨迹为到定点,距离差为常数2的点的集合,即双曲线的左支的轨迹方程为因此，本题正确答案是:练习1：已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．【答案】练习2：设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝(　　)A．1B．17C．1或17D．以上答案均不对【答案】B练习3：已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为(　　)A．5B．5＋4C．7D．9【答案】D类型二　双曲线的标准方程例2:已知双曲线中心在原点且一个焦点为F1(－，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是(　　)A.B．C.D.【解析】∵F1(－，0)，PF1的中点坐标为(0,2)，∴P的坐标为(，4)．又∵双曲线的一个焦点为F1(－，0)，∴另一个焦点为F2(，0)．∴2a＝||PF1|－|PF2||＝2.∴a＝1.又∵c＝，∴b2＝c2－a2＝4.∴双曲线方程为x2－＝1.【答案】B练习1：设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(，4)，则此双曲线的标准方程是________．【答案】根据题意可以知道椭圆的焦点在y轴上,且,故焦点坐标为由双曲线的定义可得,故,,故所求双曲线的标准方程为因此，本题正确答案是:规律方法　待定系数法求双曲线方程具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可．练习2：根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为；(2)焦距为26，且经过点M(0，12)；(3)经过两点P(－3，2)和Q(－6，－7)．【答案】(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)．由题意知，2b＝12，e＝＝.∴b＝6，c＝10，a＝8.∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.(2)∵双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.又2c＝26，∴c＝13.∴b2＝c2－a2＝25.∴双曲线的标准方程为－＝1.(3)设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)．∴∴双曲线的标准方程为－＝1.类型三　双曲线的几何性质例3：(1)设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线P