北师大版高数选修2第5讲：抛物线的标准方程与性质（教师版）.docxVIP

抛物线的标准方程与性质____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.　了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.　掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.1．抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．(2)其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0，0)对称轴y＝0x＝0焦点FFFF离心率e＝1准线方程x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下类型一　抛物线的定义及应用例1：过点(0，－2)的直线与抛物线y2＝8x交于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则|AB|等于(　　)A．2B.C．2D.【解析】设直线方程为y＝kx－2，A(x1，y1)、B(x2，y2)．由得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0.∵直线与抛物线交于A、B两点，∴Δ＝16(k＋2)2－16k20，即k－1.又＝＝2，∴k＝2或k＝－1(舍去)．∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝＝2.【答案】C练习1：已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为(　　)B．3C.D.【答案】A练习2：F是抛物线y2＝2x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝6，则线段AB的中点到y轴的距离为________．【答案】类型二　抛物线的标准方程和几何性质例2：已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝(　　)A.B.C．－D．－【解析】由得x2－5x＋4＝0，∴x＝1或x＝4.不妨设A(4,4)，B(1，－2)，则||＝5，||＝2，·＝(3,4)·(0，－2)＝－8，∴cos∠AFB＝＝＝－.故选D.【答案】D练习1：已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为(　　)A．－B．－1C．－D．－【答案】Ｃ练习2：(2014·湖南卷)如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(ab)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p0)经过C，F两点，则＝________．【答案】类型三　抛物线焦点弦的性质例3：已知直线y＝k(x＋2)(k0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k等于(　　)A.B.C.D.【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x10，x20，由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，∴x1x2＝4，①根据抛物线的定义得，|FA|＝x1＋＝x1＋2，|FB|＝x2＋2，∵|FA|＝2|FB|，∴x1＝2x2＋2，②由①②得x2＝1，∴B(1,2)，代入y＝k(x＋2)得k＝，选D.【答案】D练习1：过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.【解析】直线y＝x－，故∴x2－3px＋＝0，|AB|＝8＝x1＋x2＋p，∴4p＝8，p＝2.【答案】2类型四　直线与抛物线的位置关系例4：如图所示，O为坐标原点，过点P(2,0)，且斜率为k的直线l交抛物线y2＝2x于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点．(1)写出直线l的方程；(2)求x1x2与y1y2的值；(3)求证：OM⊥ON.【解析】(1)直线l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)．①(2)由①及y2＝2x，消去y可得k2x2－2(2k2＋1)x＋4k2＝0.②点M，N的横坐标x1与x2是②的两个根，由韦达定理，得x1x2＝＝4.由y＝2x1，y＝2x2，得(y1y2)2＝4x1x2＝4×4＝16，由图可知y1y20，所以y1y2＝－4.(3)证明：设OM，ON的斜率分别为k1，k2，则k1＝，k2＝.由(2)知，y1y2＝－4，x1x2＝4，∴k1k2＝＝－1.∴OM⊥ON.【答案】(1)直线l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)．①(2)由①及y2＝2x，消去y可得k2x2－2(2k2＋1)x＋4k2＝0.②点M，N的横坐标x1与x2是②的两