北师大版高数选修2第6讲：空间向量及其运算（教师版）.docxVIP

空间向量及其运算____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1　了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2　掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3　掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.1．空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量a＝b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合a∥b共面向量平行于同一个平面的向量2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb．(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面?存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.②两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c．4．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量表示[坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝规律方法：1.选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．如本例用，，表示，等，另外解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量．(2.首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．所以在求若干向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和．3.数量积的应用：求夹角，设向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝，进而可求两异面直线所成的角；(2)求长度(距离)，运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题；(3)解决垂直问题，利用a⊥ba·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．类型一　空间向量的线性运算例１：如图3-1-6,已知平行六面体.求证:【解析】:由于在平行六面体中,每个面都是平行四边形,故可结合空间向量加法的平行四边形法则进行向量的运算,从而证明结论.【答案】∵平行六面体的六个面均为平行四边形,∴又∵练习１：如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设1＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：,【答案】(1)=a+c+；(2)=-a+b+练习2：【2015高考新课标2，理13】设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．【答案】类型二　共线定理、共面定理的应用例2：射线AB、AC、AD不共面,连结BC、CD、DB,取AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H,如图3-1-20,试判断四边形EFGH的图形形状,并用向量的方法证明.【答案】解法1:四边形EFGH是平行四边形.∵∵E点不在上,∴EH∥FG,且EH=FG,∴四边形EFGH是平行四边形.解法2:∵∴又H点不在上,∴HG∥EF,且HG=EF. ∴四边形EFGH是平行四边形.练习1：【2015江苏高考，6】已知向量a=，b=,若ma+nb=(),则的值为______.【解析】由题意得：【答案】类型三　空间向量数量积的应用例3：已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点．(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长；(3)求异面直线