北师大版高数选修2第6讲：空间向量及其运算（学生版）.docxVIP

空间向量及其运算____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1　了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2　掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3　掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.1．空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量a＝b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合a∥b共面向量平行于同一个平面的向量2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理：共面向量定理：空间向量基本定理：3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.②两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：②交换律：③分配律：4．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积a·b共线a＝λb(b≠0)垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)模|a|夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)规律方法：1.选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．如本例用，，表示，等，另外解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量．[来源:Zxxk.Com](2.首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．所以在求若干向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和．3.数量积的应用：求夹角，设向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝，进而可求两异面直线所成的角；(2)求长度(距离)，运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题；(3)解决垂直问题，利用a⊥ba·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．类型一　空间向量的线性运算例１：如图3-1-6,已知平行六面体.求证:练习１：如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设1＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：,练习2：【2015高考新课标2，理13】设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．类型二　共线定理、共面定理的应用例2：射线AB、AC、AD不共面,连结BC、CD、DB,取AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H,如图3-1-20,试判断四边形EFGH的图形形状,并用向量的方法证明.练习1：【2015江苏高考，6】已知向量a=，b=, 若ma+nb=(),则的值为______.类型三　空间向量数量积的应用例3：已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点．(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．练习1：在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.求1与夹角的余弦值．1．（2014·广东卷）已知向量a＝(1，0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是(　　)A．(－1，1，0)B．(1，－1，0)C．(0，－1，1)D．(－1，0，1)2．在下列命题中：①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.其中正确命题的个数是(　　)A．0B．1C．2D．33.在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是(　　)A．垂直B．平行C．异面D．相交但不垂直4.O为空间任意一点，若＝＋＋，则A，B，C，P四点(　　)A．一定不共面B．一定共面C．不一定共面D．无法判断___