北师大版高数选修4-4第1讲：极坐标系（教师版）.docxVIP

极坐标系____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．会建立极坐标系，并会在极坐标下表示点.2．能区别极坐标系和平面直角坐标系,并记下极坐标与直角坐标的互化公式.3.会求圆心不同的圆的极坐标方程。4.会在极坐标系中求出任意直线的方程。5.能把柱坐标与直角坐标点的坐标互化。6.掌握球坐标与直角坐标中点坐标的互化。一.平面直角坐标系．在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系．它使平面上任一点P都可以由唯一的实数对(x，y)确定．二．坐标法．根据几何对象的特征，选取适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系，这就是研究几何问题的坐标法．三．伸缩变换．设P(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应点P′(x′，y′)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．四．极坐标系的建立．在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和一个角度单位及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系(其中O称为极点，射线Ox称为极轴)．设M为平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫作点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫作点M的极角，记为θ，有序实数对(ρ，θ)叫作点M的极坐标，记作M(ρ，θ)，一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．五．直角坐标与极坐标的互化．以直角坐标系的O为极点，x轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度，平面内的任一点P的直角坐标和极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则或注意:互化公式的三个前提条件（1）极点与直角坐标系的原点重合;（2）极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;（3）两种坐标系的单位长度相同.六．圆的极坐标方程．(1)圆心在(a，0)(a＞0)半径为a的圆的极坐标方程为ρ＝2acosθ．(2)圆心在极点，半径为r的圆的极坐标的方程为ρ＝r．七．直线的极坐标方程．1.直线l经过极点，从极轴到直线l的角为，则直线l的极坐标方程为θ＝，ρ∈R．2.过点A(a，0)(a＞0)且垂直于极轴的直线l的极坐标方程为ρcosθ＝1．3.直线l过点P(ρ1，θ1)且与极轴所成的角为α，则直线l的极坐标方程为ρsinθ＝1．八．柱坐标系．建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，在Oxy平面的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示．把建立上述对应关系的坐标系叫作柱坐标系．有序数组(ρ，θ，z)叫作点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0，0≤θ2π，z∈R.空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换关系为：九．球坐标系．建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ，P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ，点P的位置可以用有序数组(r，φ，θ)表示．我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)．有序数组(r，φ，θ)叫作点P的球坐标，其中r≥0，0≤φ≤π，0≤θ2π.空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为：．类型一.平面直角坐标系中的伸缩变换例1：由曲线y＝tanx得到曲线y＝3tan2x的伸缩变换为________．解析：(1)设变换为则μy＝3tan2λx，即y＝tan2λx，与y＝tanx比较，则有μ＝3，λ＝，所以例2：求圆x2＋y2＝4经过伸缩变换后的图形的方程．解析：由得代入x2＋y2＝4得＋＝4，即＋＝1，所以圆x2＋y2＝4在此伸缩变换下的方程为＋＝1.答案：＋＝1.练习1：在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：(1)求点A(，－2)经过φ变换所得的点A′的坐标；(2)点B经过φ变换后得到点B′(－3，)，求点B的坐标；解析：(1)设点A′(x′，y′)．由伸缩变换φ：得到又已知点A(，－2)．于是x′＝3×＝1，y′＝×(－2)＝－1.∴变换后点A′的坐标为(1，－1)．(2)设B(x，y)，由伸缩变换φ：得到由于B′(－3，)，于是x＝×(－3)＝－1，y＝2×＝1，∴B(－1,1)为所求．答案：(1)(1，－1)(2)(－1,1)类型二.求曲线的极坐