北师大版高数选修4-4第2讲：参数方程（学生版）.docxVIP

参数方程____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.了解直线参数方程,曲线参数方程的条件及参数的意义2.会选择适当的参数写出曲线的参数方程3.掌握参数方程化为普通方程几种基本方法4.了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义5.利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题一.参数方程的定义1.一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任一点P的坐标x和y都可以表示为某个变量t的函数：；反过来，对于t的每个允许值，由函数式所确定的点P(x，y)都在曲线C上，那么方程叫作曲线C的参数方程，变量t是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程，参数方程可以转化为普通方程．2．关于参数的说明．参数方程中参数可以有物理意义、几何意义，也可以没有明显意义．3．曲线的参数方程可通过消去参数而得到普通方程；若知道变数x、y中的一个与参数t的关系，可把它代入普通方程，求另一变数与参数t的关系，则所得的，就是参数方程．二.圆的参数方程点P的横坐标x、纵坐标y都是t的函数：(t为参数)．我们把这个方程叫作以圆心为原点，半径为r的圆的参数方程．圆的圆心为O1(a，b)，半径为r的圆的参数方程为：（t为参数）.三．椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程为(θ为参数)．规定θ的范围为θ∈[0，2π)．这是中心在原点O、焦点在x轴上的椭圆参数方程．四．双曲线－＝1的参数方程为(φ为参数)．规定φ的范围为φ∈[0，2π)，且φ≠，φ≠.这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线参数方程．五．曲线C的参数方程为(t为参数，t∈R)其中p为正的常数．这是焦点在x轴正半轴上的抛物线参数方程．六.直线的参数方程1．过定点M0(x0，y0)、倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)，这一形式称为直线参数方程的标准形式，直线上的动点M到定点M0的距离等于参数t的绝对值．当t＞0时，的方向向上；当t＜0时，的方向向下；当点M与点M0重合时，t＝0.2．若直线的参数方程为一般形式为：(参数)，可把它化为标准形式：(t′为参数)．其中α是直线的倾斜角，tanα＝，此时参数t′才有如前所说的几何意义．类型一.参数方程与普通方程的互化例1：指出参数方程表示什么曲线练习1：指出参数方程(θ为参数，0≤θ＜2π)．表示什么曲线例2：设直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的方程为y=3x+4,则l1与l2间的距离为______.练习2：若直线(t为参数)与直线l2:(s为参数)垂直,则k=______.类型二.曲线参数方程例3：已知点P(x, y)在曲线(为参数)上,则的取值范围为______.练习1：已知点A(1,0),P是曲线(R)上任一点,设P到直线l:y=的距离为d,则|PA|+d的最小值是______.例4：已知为参数,则点(3,2)到方程,的距离的最小值是______.练习1：已知圆C的参数方程为(为参数),则点P(4,4)与圆C上的点的最远距离是______.例5：已知双曲线方程为x2－y2＝1，M为双曲线上任意一点，点M到两条渐近线的距离分别为d1和d2，求证：d1与d2的乘积是常数．练习1：将参数方程(t为参数，a＞0，b＞0)化为普通方程．类型三.直线参数方程例6：曲线C1:(为参数)上的点到曲线C2:(t为参数)上的点的最短距离为______.练习1：直线(t为参数)上对应t＝0，t＝1两点间的距离是(　　)A．1B.C．10D．2类型四.曲线参数方程的应用例7：在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为(α为参数)．(1)已知在极坐标(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．练习1：已知曲线C的方程为当t是非零常数，θ为参数时，C是什么曲线？当θ为不等于(k∈Z)的常数，t为参数时，C是什么曲线？两曲线有何共同特征？类型五.极坐标与参数方程的综合应用例8：(2015·广东卷Ⅱ，数学文14)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C2的参数方程为(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为________．练习1：求圆被直线(t是参数)截得的弦长.1.将参数方程(θ为参数)化为普通方程是(