北师大版高数选修4-5第2讲：证明不等式的基本方法（教师版）.docxVIP

证明不等式的基本方法____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________教学重点：掌握比较法、综合法和分析法、反证法和放缩法的方法；教学难点：理解放缩法的解题及应用。1、比较法：所谓比较法，就是通过两个实数与的差或商的符号（范围）确定与大小关系的方法，即通过“，，；或，，”来确定，大小关系的方法，前者为作差法，后者为作商法。2、分析法：从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立，这种方法叫做分析法。3、综合法：从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式，这种证明方法叫做综合法。4、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的，这种证明方法叫做反正法.用反证法证明不等式时，必须将命题结论的反面的各种情形一一导出矛盾这里作一简单介绍。反证法证明一个命题的思路及步骤：1）假定命题的结论不成立；2）进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾;3）由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的;4）肯定原来命题的结论是正确的。5.放缩法：放缩法就是在证明过程中,利用不等式的传递性,作适当的放大或缩小,证明比原不等式更好的不等式来代替原不等式的证明.放缩法的目的性强,必须恰到好处, 同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及.否则不能达到目的。类型一：比较法、分析法和综合法去证明不等式例1.求证：x2 + 3 3x解析：∵(x2 + 3) 3x = ∴x2 + 3 3x答案：见解析练习1.已知a, b, m都是正数，并且a b，求证：答案：∵a,b,m都是正数，并且ab，∴b + m 0 , ba 0∴即：练习2.已知a, b都是正数，并且ab，求证：a5 + b5 a2b3 + a3b2答案：(a5 + b5 )(a2b3 + a3b2) = ( a5a3b2) + (b5a2b3 ) = a3 (a2b2 )b3 (a2b2) = (a2b2 ) (a3b3)= (a + b)(ab)2(a2 + ab + b2)∵a, b都是正数，∴a + b, a2 + ab + b2 0又∵ab，∴(ab)2 0 ∴(a + b)(ab)2(a2 + ab + b2) 0即：a5 + b5 a2b3 + a3b2例2.已知a，b，c是不全相等的正数，求证：解析：∵≥2bc,a＞0,∴≥2abc①同理≥2abc②≥2abc③因为a，b，c不全相等，所以≥2bc, ≥2ca, ≥2ab三式不能全取“=”号，从而①、②、③三式也不能全取“=”号∴答案：见解析。练习3.已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：答案：左－右=2（ab+bc－ac）∵a，b，c成等比数列，∴又∵a，b，c都是正数，所以≤∴∴∴例3.求证解析：因为都是正数，所以为了证明只需证明展开得即因为成立，所以成立即证明了答案：见解析练习4.已知a,b,c,d∈R,求证:ac+bd≤答案：(1)当时,显然成立(2)当时,欲证原不等式成立,只需证即证即证即证因为∈R,所以上式恒成立,综合(1)、(2)可知:原不等式成立类型二：反证法和放缩法证明不等式例4.若a, b, c, dR+，求证：解析：（用放缩法）记m =∵a, b, c, dR+ ∴∴1 m 2 即原式成立答案：见解析练习5.当n 2 时，求证：答案：（用放缩法）∵n2 ∴∴∴n 2时, 例5.设0a,b,c 1，求证：(1 a)b,(1 b)c,(1c)a,不可能同时大于解析：（用反证法）设(1 a)b ,(1 b)c,(1 c)a,则三式相乘：(1 a)b?(1 b)c?(1 c)a①又∵0 a,b,c 1 ∴同理,将以上三式相乘 (1 a)a?(1 b)b?(1 c)c≤此与①矛盾∴(1 a)b,(1 b)c,(1c)a,不可能同时大于答案：见解析练习6.已知a+b+c 0，ab +bc+ca0，abc0，求证：a,b,c0答案：（用反证法）设a 0, ∵abc0, ∴bc 0又由a + b + c 0, 则b+ca0∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc 0 此与题设矛盾又若a = 0，