北师大版高数选修4-5第3讲：数学归纳法证明不等式（教师版）.docxVIP

数学归纳法证明不等式____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________教学重点：掌握数学归纳法的概念、应用教学难点：理解数学归纳法的应用对于含有的不等式，当取第一个值时不等式成立，如果使不等式在时成立的假设下，还能证明不等式在时也成立，那么肯定这个不等式对取第一个值以后的自然数都能成立.数学归纳法的基本形式设P(n)是关于自然数n的命题，若（1）P(n0)成立(奠基)（2）假设P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立类型一：用数学归纳法证明不等式问题例1.已知：，，，求证：解析：（1）当时，，不等式成立；（2）若时，成立，则=，即成立.根据（1）、（2），对于大于1的自然数都成立.答案：见解析练习1.设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当2成立时，总可推出成立”．那么，下列命题总成立的是（　　）A.若成立，则B.若成立，则成立C.若成立，则当时，均有成立D.若成立，则当时，均有成立答案：D练习2.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是(　　)A．假设n＝k(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立C．假设n＝2k＋1(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立答案：D类型二：用归纳法证明数列不等式、整除问题例2.设（n∈N*），那么等于（　　）A．B.C.D.解析：根据题中所给式子，求出和，再两者相减，即得到的结果．答案：D练习3.观察不等式：1，1＋＋1,1＋＋＋…＋，1＋＋＋…＋2,1＋＋＋…＋，…，由此猜测第n个不等式为________(n∈N*)．答案：1＋＋＋…＋例3.试证：当n∈N*时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．解析：证法一：(1)当n＝1时，f(1)＝64，命题显然成立．(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除．当n＝k＋1时，由于32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋9·8k＋9·9－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋64(k＋1)，即f(k＋1)＝9f(k)＋64(k＋1)，∴n＝k＋1时命题也成立．根据(1)、(2)可知，对于任意n∈N*，命题都成立．证法二：(1)当n＝1时f(1)＝64命题显然成立．(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除．由归纳假设，设32k＋2－8k－9＝64m(m为大于1的自然数)，将32k＋2＝64m＋8k＋9代入到f(k＋1)中得f(k＋1)＝9(64m＋8k＋9)－8(k＋1)－9＝64(9m＋k＋1)，∴n＝k＋1时命题也成立．根据(1)(2)知，对于任意n∈N*，命题都成立．答案：见解析练习4.下列代数式（其中k∈N*）能被9整除的是（　　）A．6+6?7kB.2+7k﹣1C.2（2+7k+1）D.3（2+7k）答案：D1.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是(　　)A．若f(1)1成立，则f(10)100成立B．若f(2)4成立，则f(1)≥1成立C．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立D．若f(4)≥25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立答案：D.2.用数学归纳法证明不等式＋＋…＋(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边(　　)A．增加了一项B．增加了两项、C．增加了B中两项但减少了一项D．以上各种情况均不对答案：C3.若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是_____．答案：f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)24.已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是________．答案：(5,7)5.如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n(n∈N*)行，在这些数中非1的数字之和是________________．11　　11　　2　　11　　3　　3　　11　　4　　6　　4　　1……答案：