二次函数和幂函数知识点.doc

教 学 内 容 　　二次函数与幂函数 1． 二次函数的定义与解析式 (1)二次函数的定义 形如：f(x)＝ax2＋bx＋c_(a≠0)的函数叫作二次函数． (2)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c_(a≠0)． ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． ③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)_(a≠0)． 2． 二次函数的图像和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a0) 图像 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 单调性 在x∈上单调递减；在x∈上单调递增在x∈上单调递增；在x∈上单调递减 奇偶性 当b＝0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数 顶点 对称性 图像关于直线x＝－成轴对称图形 3. 幂函数 形如y＝xα (α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． 4． 幂函数的图像及性质 (1)幂函数的图像比较 (2)幂函数的性质比较 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R且x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R且y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数单调性 增 x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减 增 增 x∈(0，＋∞) 时，减；x∈(－∞，0)时，减 [难点正本　疑点清源] 1． 二次函数的三种形式 (1)已知三个点的坐标时，宜用一般式． (2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式． (3)已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便． 2． 幂函数的图像 (1)在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x轴，在(1，＋∞)上幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴． (2)函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1可作为研究和学习幂函数图像和性质的代表． 1． 已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a的取值范围为____________． 答案　(－∞，－2] 解析　f(x)的图像的对称轴为x＝1－a且开口向上， ∴1－a≥3，即a≤－2. 2． (课本改编题)已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为________． 答案　[1,2] 解析　y＝x2－2x＋3的对称轴为x＝1. 当m1时，y＝f(x)在[0，m]上为减函数． ∴ymax＝f(0)＝3，ymin＝f(m)＝m2－2m＋3＝2. ∴m＝1，无解． 当1≤m≤2时，ymin＝f(1)＝12－2×1＋3＝2， ymax＝f(0)＝3. 当m2时，ymax＝f(m)＝m2－2m＋3＝3， ∴m＝0，m＝2，无解．∴1≤m≤2. 3．若幂函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图像不经过原点，则实数m的值为________． 答案　1或2 解析　由，解得m＝1或2. 经检验m＝1或2都适合． 4． (人教A版教材例题改编)如图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图像．已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为____________． 答案　2，，－，－2 解析　可以根据函数图像是否过原点判断n的符号，然后根据函数凸凹性确定n的值． 5． 函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是(　　) A．m＝－2 B．m＝2 C．m＝－1 D．m＝1 答案　A 解析　函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像的对称轴为x＝－，且只有一条对称轴，所以－＝1，即m＝－2. 题型一　求二次函数的解析式例1　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数． 思维启迪：确定二次函数采用待定系数法，有三种形式，可根据条件灵活运用． 解　方法一　设f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)， 依题意有解之，得 ∴所求二次函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 方法二　设f(x)＝a(x－m)2＋n，a≠0.∵f(2)＝f(－1)， ∴抛物线对称轴为x＝＝.∴m＝. 又根据题意函数有最大值为n＝8， ∴y＝f(x)＝a2＋8. ∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解之，得a＝－4. ∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7. 方法三　依题意知，f(x)＋1＝0的两根为 x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，a≠0. 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值ymax＝8，即＝8， 解之，得a＝－4或a＝0(舍去)． ∴函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.