几何性质--大连理工大学内部课件.ppt

附录I 截面图形的几何性质 力学响应的决定因素： 荷载（F、M）,材料（E、G、v、[σ]）,几何性质 梁的几何性质对变形的影响 §Ⅰ-1 静矩和形心 1. 静矩（面积的一次矩） 2. 形心 ——均匀薄板的重心 几个特例 形心必位于对称轴上 对称轴必为形心轴 例 试计算图示三角形截面对底边轴的静矩。 例 解：由对称性， 4. 组合图形的静矩和形心 §Ⅰ-2 极惯性矩 · 惯性矩· 惯性积 1. 极惯性矩 2.惯性矩 3. 惯性矩与极惯性矩的关系 ∵ ρ2 = y2＋z2 4. 惯性半径 5.惯性积 1、平行移轴公式 x Iy = Iyc + a 2A Iz = Izc + b 2A Iyz = Iyczc + a bA 2、组合图形的惯性矩和惯性积 若 已知：C 为形心，求：Izc. 求：Iy、Iz 例 求图形对x轴的惯性矩和惯性积 形心与静矩的关系 组合图形的静矩和形心 以求Iy为例 Iy = Iyc + a 2A Iz = Izc + b 2A Iyz = Iyczc + a bA 形心主惯性轴 一、转轴公式 一、转轴公式 整理后得 二 主惯性轴 主惯性矩 1. 主惯性轴 若 Iy1z1 = 0, 则 y1, z1 轴称为主惯性轴。 其位置α0可由下式确定： 2.主惯性矩 ——图形对主惯性轴的惯性矩 主惯性矩的意义 3. 形心主惯性轴与形心主惯性矩 若主惯性轴过形心就成为形心主惯性轴,对其矩就是形心主惯性矩。 形心主惯性矩计算步骤： 确定形心（先设定一任意坐标轴）； 确定对任意形心轴的惯性矩和惯性积； 计算α0； 计算形心主惯性矩。 例 求形心主惯性矩 3.形心主惯性轴 4.求形心主惯性矩 Sz = A yc 图形对一个轴的静矩，等于该图面积 与其形心坐标的乘积。 Sy = A zc yC y z O C zC dA z y 图形对形心轴 的静矩必为零 C y z 2. 惯性矩 dA z y y z O 3. 惯性积 Ⅰ Ⅱ C(yc,zc) C1(yc1,zc1) C2（yc2,zc2) y z Iy = C yC a y zC z z O zC dA z = zC + a Iy = 在一组平行的轴中，图形对其形心轴的惯性矩最小。 惯性积公式中 b, a 为形心坐标，注意其正负号。 C yC a y zC z z O zC dA b yC y z O C yC zC 当y，z 轴中有一轴为对称轴时， 图形对yz轴的 惯性积必为零 h b z y O d z y O y，z 轴为主惯性轴 h b z y O 4. 形心主惯性矩 形心主惯性矩 D z y O D d z y O z y C C C 对称轴必为形心主惯性轴。 z y z y y z y z O dA α z1 y1 y1 z1 α §Ⅰ-4 转轴公式 · 主惯性轴和主惯性矩 y z y z O dA α z1 y1 y1 z1 α α 角： 逆时针转动为正。 新旧坐标转换关系： y1= y cos α ＋z sin α z1= z cos α －y sin α 已知 Iy , Iz , Iyz,α 求 Iy1 , Iz1 ，Iy1z1 Iy1, Iz1, I y1z1 都是α 角的有界连续函数。 Iy1＋ Iz1 = Iy＋ Iz = Ip = 常数 C z y C z1 y1 C z1 y1 讨论1. I y1z1 有一个从正连续变化到负的过程； C z1 y1 z y C z1 y1 z y 主惯性矩 C z1 y1 z y Iy0 IZ0 即 所以，主惯性轴就是使得图形的惯性矩取极值的坐标轴，主惯性矩就是极值惯性矩。 讨论2. 有界连续函数惯性矩Iy1必有极值，使惯性矩取极值的α＝？ 主惯性矩就是极值惯性矩，一个极大一个极小。 C z1 y1 z y 200 200 20 20 特点： 1.对称轴必为形心主惯性轴； 2.形心主惯性矩就是过形心的各轴的惯性矩的极值，一个极大，一个极小。 C z y C 形心主惯性轴的判断： 只有一个对称轴； 2.有两个对称轴； 3.有三个或三个以上对称轴； 有无穷多对主惯性轴 4.没有对称轴。 z y C C z y z y Imax Imin 20 20 z O 100 100 y 解:1