吉林大学大一高数第三章第三节 高阶导数.pptx

二、高阶导数的运算法则 第三节 一、高阶导数的概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高阶导数 第三章 一、高阶导数的概念 速度 即 加速度 即 引例：变速直线运动 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义. 若函数 的导数 可导, 或 即 或 类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 或 的二阶导数 , 记作 的导数为 依次类推 , 分别记作 则称 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 求 解: 依次类推 , 例1. 思考: 设 问 可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 设 求 解: 特别有: 解: 规定 0 ! = 1 思考: 例3. 设 求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 设 求 解: 一般地 , 类似可证: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 设 求使 存在的最高 分析: 但是 不存在 . 2 又 阶数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、高阶导数的运算法则 都有 n 阶导数 , 则 (C为常数) 莱布尼兹(Leibniz) 公式 推导 目录 上页 下页 返回 结束 用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6. 求 解: 设 则 代入莱布尼兹公式 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7. 设 求 解: 即 用莱布尼兹公式求 n 阶导数 令 得 由 得 即 由 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 (1) 逐阶求导法 (2) 利用归纳法 (3) 间接法 —— 利用已知的高阶导数公式 (4) 利用莱布尼兹公式 高阶导数的求法 如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 1. 如何求下列函数的 n 阶导数? 解: 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3) 提示: 令 原式 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. (填空题) (1) 设 则 提示: 各项均含因子 ( x – 2 ) (2) 已知 任意阶可导, 且 时 提示: 则当 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 试从 导出 解： 同样可求 (见 P102 题3 ) 作业 P101 1 (5) , (7) ; 6 ；7. 第四节 目录 上页 下页 返回 结束 解: 设 求 其中 f 二阶可导. 备用题 机动 目录 上页 下页 返回 结束