同济高数上D2_3高阶导数.ppt

第三节 一、高阶导数的概念 定义. 例1. 例2. 设 例4. 设 例5 . 设 例6. 设 二、高阶导数的运算法则 规律 例7. 例8. 设 内容小结 思考与练习 2. (填空题) (1) 设 3. 试从 备用题 * 目录 上页 下页 返回 结束 二、高阶导数的运算法则 一、高阶导数的概念 高阶导数 第二章 速度 即 加速度 即 引例：变速直线运动 若函数 的导数 可导, 或 即 或 类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 或 的二阶导数 , 记作 的导数为 依次类推 , 分别记作 则称 设 求 解: 依次类推 , 思考: 设 问 可得 求 解: 特别有: 解: 规定 0 ! = 1 思考: 例3. 设 求 求 解: 一般地 , 类似可证: 解: 求使 存在的最高 分析: 但是 不存在 . 2 又 阶数 规律 都有 n 阶导数 , 则 (C为常数) 莱布尼茨(Leibniz) 公式 及 设函数 规律 用数学归纳法可证 求 解: 设 则 代入莱布尼茨公式 , 得 求 解: 即 用莱布尼茨公式求 n 阶导数 令 得 由 得 即 由 得 (1) 逐阶求导法 (2) 利用归纳法 (3) 间接法 —— 利用已知的高阶导数公式 (4) 利用莱布尼茨公式 高阶导数的求法 如下列公式 1. 如何求下列函数的 n 阶导数? 解: 解: (3) 提示: 令 解: 各项均含因子 ( x – 2 ) 则 提示: (2) 已知 任意阶可导, 且 时 提示: 则当 导出 解： 同样可求 (见 P103 题4 ) 作业 P103 1 (9) , (12) ; 3 ; 4 (2) ; 6 ; 9 ; 10 (2) ; *11 (2) , (3) 第四节 解: 设 求 其中 f 二阶可导.