四川省成都市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程课件.ppt

2.3.1 双曲线及其标准方程 那么与两定点的距离的差为非零常数的点的轨迹是怎样的曲线呢？ 问 题： 与两定点的距离的和为常数的点的轨迹是椭圆． 如图，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的 两边上各选择一点 ，分别固定在点F1、F2 上， |FF2| = 2a ( a 0) . 记 |MF1| - |MF2| = 2a 双曲线的定义: 平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1 F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。 x y O 说 明： 双曲线定义用代数式表示为： M点的轨迹是焦点F2 所对应的一支； M点的轨迹是以F1 、F2 为端点的两条射线； M点的轨迹不存在 . M点的轨迹是焦点F1 所对应的一支； （1） （2） （3） （4） 如图建立直角坐标系xOy,使x轴经过点F1,F2,且点O与线段F1,F2的中点重合. 设M(x,y)是双曲线上任意一点， 双曲线的标准方程 : 由双曲线定义知 由定义知 |F1 F2| =2c, F1(-c,0),F2(c,0), 又设点M与F1,F2的距离的差 的绝对值等于常数2a . _______双曲线的标准方程 说明: 1.焦点在x轴; 2. 焦点F1(-c,0),F2(c,0) ; 3. c2 = a2 + b2. 4.焦点在y 轴上的双曲线标准方程是: 解： 解： 例1 解： 解2： 则 解得 说明：求双曲线方程时，若没有指明焦点位置， 一般可设为： 例2已知A、B两地相距800 m，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚 2s ,且声速为340 m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 分析： 由A、B两处听到爆炸声的时间差为2 s ，可知A、B两处与爆炸点的距离的差为2v（v为声速）， 因此爆炸点应位于以 A、B为焦点的双曲线上. 又因为爆炸点离A处比离B处更远，所以爆炸点应在靠近B处的一支上。 A B P 例2 已知A、B两地相距800 m，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚 2s ,且声速为340 m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程. （2）建系如图， |PA|-|PB|=340×2=680 故所求双曲线方程为： 解： . 设爆炸点 P(x，y)， 则 想一想： 如果A、B两处同时听到爆炸声，那么爆炸点应在什么样的曲线上？ 答：爆炸点应在线段AB的中垂线上. 例2 说明 , 利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间 差 , 可以确定爆炸点所在的双曲线的方程 , 但不能确定爆炸点的准 确位置. 如果再增设一个观测点 C, 利用 B、C( 或 A、C) 两处测得 的爆炸声的时间差 , 可以求出另一个双曲线的方程 , . . P 解这两个方程 组成的方程组 , 就能确定爆炸点的准确位置 . 这是双曲线的一个重 要应用 . 例3.如图点A(-5，0),B(5，0),直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积是 ，求点M的轨迹. 解： 设 M(x，y) ， A B M O x y 则 即 化简 即 为所求点M的轨迹方程. 故点M的轨迹是焦点在x轴上的双曲线， 并去掉点(±5, 0). 变式3.已知△ABC的两个顶点B(-1，0),C(1，0),直线AB,AC所在直线的斜率之积等于m(m≠0),探求顶点A的轨迹. 解： 设 A(x，y) ， 则 即 即 ① 当m=－1时, 顶点A的轨迹是以原点为圆心,半径为1 的圆, 并去掉点(±1, 0)； ② 当－1m0时, 顶点A的轨迹是焦点在x轴上的椭圆， 并去掉点(±1, 0)； ③ 当m－1时, 顶点A的轨迹是焦点在y轴上的椭圆， 并去掉点(±1, 0). ④ 当m0时, 顶点A的轨迹是焦点在x轴上的双曲线， 并去掉点(±1, 0). 解： 另解： 思考： 解： 变式：