四川省成都市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的简单几何性质1课件.ppt

2.4.2 抛物线的简单几何性质（1） 问题：抛物线的标准方程是怎样的？ 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 抛物线的标准方程： 与椭圆、双曲线一样，通过抛物线的标准方程可以研究它的几何性质． 以抛物线的标准方程： 来研究它的几何性质． （1）范围： 因为p0，由方程可知 x≥0，所以抛物线在y轴的 右侧，当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右 上方和右下方无限延伸． （2）对称性 以 代 ，方程不变，所以抛物线关于 轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点 抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程中，当 时 ，因此抛物线的顶点就是坐标原点． （4）离心率 抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义可知 其它三种标准方程抛物线的几何性质可类似地求得: 图形 方程 范围 对称性 顶点 离心率 x 轴 抛物线的几何性质 x 轴 y 轴 y 轴 问题：与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质有什么特点？ （1）抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线； （2）抛物线只有一条对称轴，没有对称中心； 抛物线又叫做无心圆锥曲线。 （3）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线； （4）抛物线的离心率是确定的，为1． 例1. 斜率为1的直线经过抛物线 y2=4x 的焦点， 与抛物线交于两点 A、B，求线段 AB的长. 解： 另解： A’ B’ A B O x y F 焦点弦 过抛物线的焦点且与抛物线相交的直线，被抛物线截取的线段叫抛物线的焦点弦. A’ B’ A B O x y F 抛物线 的焦点弦长公式： 设 则 焦点弦中与对称轴垂直的弦叫做抛物线的通径， 长度为2p.这是标准方程中2p的几何意义. 解： 由定义得， x y F A B K O |AB|= |AF|+|BF| 思考：抛物线中过焦点的弦有最小值吗？如果有，在何处取得？ F y O x . . . . . . . . A B 由上题可知，通径是抛物线中过焦点的最短弦 长度为2p.这是标准方程中2p的几何意义. 例2.在抛物线 y2=8x 上求一点P，使P到焦点F 的距离与到 Q(4 ，1)的距离的和最小，并求最小值。 解： K x y Q 2 F O 4 P 思考： 当| |PF|－|PQ| |为最大时，点P的坐标是_______． 例3. 过抛物线y2=2px的焦点的一条直线与它交于两点A(x1，y1)， B(x2，y2)，通过点A和抛物线顶点的直线交准线于点C， 求证：y1y2=-p2， 证明： 又 y O x . . . . . . . . A B F 2