大学物理 第二章运动定律和力学中的守恒律.ppt

2、质点对轴的角动量 ☆ 假定质点的动量就在转动平面内，且质点对轴的矢径为r，则质点对z 轴的角动量为 ，方向沿 z 轴，可正、可负 ☆ 质点动量不在转动平面内，则只需考虑动量在转动平面内的分量； 或运用坐标分量式求得： 2.5.2 质点的角动量定理 １、对点的角动量定理（微分形式） 若用 r 叉乘牛顿定律 即 式中 r 是质点对参考点o的位矢。 又 于是有 或 即：作用在质点上的力矩等于质点角动量对时间的变化率。此即质点对固定点的角动量定理。 ２、角动量定理的积分形式： 叫冲量矩 *：M 和 L 必须是对同一点而言 a、对点的角动量守恒律 若 ，则 质点所受外力对某参考点的力矩为零，则质点对该参考点的角动量守恒。这就是质点的角动量守恒定律。 外力距对某固定点的冲量距等于质点对该点的角动量的增量。 ＊若质点受有心力作用，则该质点对力心的角动量一定守恒。 2.5.3 质点角动量守恒定律 b、对轴的角动量守恒律： 若 Mz=0， 则 Lz =常数，即若力矩在某轴上的分量为零（或力对某轴的力矩为零），则质点对该轴的角动量守恒。 在由A→B的过程中，子弹、木块系统机械能守恒 例2.16　在光滑的水平桌面上，放有质量为M的木块，木块与一弹簧相连，弹簧的另一端固定在O点，弹簧的劲度系数为k，设有一质量为m的子弹以初速 垂直于OA射向M并嵌在木块内，如图2.31所示.弹簧原长 ，子弹击中木块后，木块M运动到B点时刻，弹簧长度变为l，此时OB垂直于OA，求在B点时，木块的运动速度 . 解　击中瞬间，在水平面内，子弹与木块组成的系统沿 方向动量守恒，即有 在由A→B的过程中木块在水平面内只受指向O点的弹性有心力，故木块对O点的角动量守恒，设 与OB方向成θ角，则有 由①、②式联立求得 的大小为 由③式求得 与OB的夹角为 例2.17　一质点m被一长为l的轻线悬于天花板上的B点，质点m在水平面内作匀角速ω的圆周运动，设圆轨道半径为 .试计算(1)质点m对圆心O和悬点B的角动量 和 ；(2)作用在质点m上的重力mg和张力T对圆心O和悬点B的力矩 和 ；(3)试讨论m对O点或B点的角动量是否守恒(如图2.32所示). 解　(1) 在图(a)中由圆心O点向质量m引矢量 ，则 其方向垂直于轨道平面沿OB方向向上，因为 ⊥mv，故 即圆锥摆对圆心O点的角动量 是个沿OB向上的大小和方向都不变的恒矢量. 在图(b)中，由悬点B向在某位置P处的质点m引矢径 ，则 (2) 如图(c)，质点m所在位置对于圆心O，张力T的力矩为 因在竖直方向有Tcosθ＝mg，所以 即 的方向垂直于 与mv所组成的平面.显然，质点m在不同的位置处，例如在p′点处，其矢径 和动量mv′各不相同，因此，其矢积 也不相同.即 的方向是不断地变化着的.这时 的大小为 其方向垂直于纸面向外，大小为 此时重力对圆心O的力矩为 由上面计算可以得出，作用在质点m上的张力T，重力mg对圆心O的合力矩为 其方向垂直于纸面向里.因mg始终垂直于轨道平面，所以 ⊥mg，故 的大小为 同样，如图(c)质点所在位置，对于悬点B，张力T因与 始终共线，故T对B点的力矩为零.而重力mg对B点的力矩为 其方向始终垂直于 与重力作用线mg所组成的平面.由于 的方向在不断地变化，所以 的方向也在不断地变化，如图(c)所在位置， 的方向垂直于纸面向里. (3) 由(2)中的讨论可知，重力mg和张力T对O点的合力矩为零(实际上mg与T的合力构成了m作圆周运动的向心力，为有心力，其对O点合力矩必定为零)，所以质点m对O点的角动量守恒，这与(1)中讨论一致. 同样，由(2)中讨论知，因mg对B点的力矩方向始终变化，即对B点的力矩不为零，故质点m对B点的角动量不守恒.这与前面结果也是一致的. ?动能与动量的区别 引入 两种度量作用 例2.10　一质量为10 kg的物体沿x轴无摩擦地滑动，t＝0时物体静止于原点，(1)若物体在力F＝3＋4t N的作用下运动了3 s，它的速度增为多大？(2)物体在力F＝3＋4x N的作用下移动了3 m，它的速度增为多大？ 解　(1)由动量定理 ，得 (2)由动能定理 ，得 2.4.3 势能 描述机械运动的状态参量是 对应于： 弹簧弹性力的功 万有